Đáp án + Giải thích các bước giải:

Bạn tự vẽ hình nhé !

Bài `2:`

$1/$

`+` Xét `ΔAHC` vuông tại `H` có :

`cos(hat{ACH})=(CH)/(AC)=(5)/(13)` ( tỉ số lượng giác )

`=>cos(C)=(5)/(13)` 

`sin^{2}(hat{ACH})+cos^{2}(hat{ACH})=1` ( công thức lượng giác )

`<=>sin^{2}(hat{ACH})=1-cos^{2}(hat{ACH})`

`<=>sin^{2}(hat{ACH})=1-(5/(13))^{2}`

`<=>sin^{2}(hat{ACH})=(144)/(169)`

`<=>sin(hat{ACH})=\sqrt{(144)/(169)}`

`<=>sin(hat{ACH})=(12)/(13)`

`=>sinC=(12)/(13)`

`+` Vì `ΔABC` vuông tại `A` nên ta có cặp tỉ số lượng giác như sau :

`-sinB=cosC=(5)/(13)` 

`-cosB=sinC=(12)/(13)`

`-tanB=cotC=(cosC)/(sinC)=`$\dfrac{\dfrac{12}{13}}{\dfrac{5}{13}}$`=(12)/(5)`

`-tanB=cotC=(sinC)/(cosC)=`$\dfrac{\dfrac{5}{13}}{\dfrac{12}{13}}$`=(5)/(12)`

$2/$

`BC=BH+CH=3+4=7`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` và đường cao `AH` ta có :

`AC^{2}=CH.BC` ( hệ thức lượng )

`=>AC=\sqrt{CH.BC}=\sqrt{4.7}=2\sqrt{7}`

`+` Xét `ΔAHC` vuông tại `H` có :

`cos(hat{ACH})=(CH)/(AC)=(4)/(2\sqrt{7})=(2)/(\sqrt{7})` ( tỉ số lượng giác )

`=>cos(C)=(2)/(\sqrt{7})` 

`sin^{2}(hat{ACH})+cos^{2}(hat{ACH})=1` ( công thức lượng giác )

`<=>sin^{2}(hat{ACH})=1-cos^{2}(hat{ACH})`

`<=>sin^{2}(hat{ACH})=1-(2/(\sqrt{7}))^{2}`

`<=>sin^{2}(hat{ACH})=(3)/(7)`

`<=>sin(hat{ACH})=\sqrt{(3)/(7)}`

`=>sinC=\sqrt{(3)/(7)}`

`+` Vì `ΔABC` vuông tại `A` nên ta có cặp tỉ số lượng giác như sau :

`-sinB=cosC=(2)/(\sqrt{7})` 

`-cosB=sinC=\sqrt{3/7}`

`-tanB=cotC=(cosC)/(sinC)=`$\dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{7}}}{\sqrt{\dfrac{3}{7}}}$`=(\sqrt{3})/(2)`

`-cotB=tanC=(sinC)/(cosC)=`$\dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{7}}}{\sqrt{\dfrac{3}{7}}}$`=(2)/(\sqrt{3})`

$3/$

`+` Xét `ΔAHC` vuông tại `H` có :

`tan(hat{ACH})=(AH)/(HC)=(8)/(6)=4/3` ( tỉ số lượng giác )

`=>tan(C)=(4)/(3)` 

Có `tan(C).cot(C)=1`

`<=>(4)/(3).cot(C)=1`

`<=>cot(C)=(3)/(4)`

Có : `tanC=(sinC)/(cosC)=(4)/(3)`

Lại có `sin^{2}+cos^{2}=1`

Đặt `a=sinC;b=cosC`

Điều kiện : `-1<=a<=1` và `-1<=b<=1`

Từ trên ta có hệ phương trình : `{(3a-4b=0),(a^{2}+b^{2}=1):}`

`<=>`$\begin{cases} a=\dfrac{4b}{3}\\ \dfrac{(4b)^{2}}{3^{2}}+b^{2}=1 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} a=\dfrac{4b}{3}\\ \dfrac{16b^{2}}{9}+b^{2}=1 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} a=\dfrac{4b}{3}\\ \dfrac{16b^{2}}{9}+\dfrac{9b^{2}}{9}=\dfrac{9}{9} \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} a=\dfrac{4b}{3}\\ 25b^{2}=9 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} a=\dfrac{4b}{3}\\ b^{2}=\dfrac{9}{25} \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} a=\dfrac{4b}{3}\\ b=\dfrac{3}{5} \end{cases}$ `(` loại `(-3)/(5) vì điều kiện đề bài `)`

`<=>`$\begin{cases} a=\dfrac{4}{5}\\ b=\dfrac{3}{5} \end{cases}$ 

`<=>`$\begin{cases} \text{sin C}=\dfrac{4}{5}\\ \text{cos C}=\dfrac{3}{5} \end{cases}$ 

`+` Vì `ΔABC` vuông tại `A` nên ta có cặp tỉ số lượng giác như sau :

`-sinB=cosC=(3)/(5)` 

`-cosB=sinC=(4)/(5)`

`-tanB=cotC=(3)/(4)`

`-cotB=tanC=(4)/(3)`

$4/$

Xét `ΔABC` vuông tại `A` và đường cao `AH` ta có :

$\begin{cases} AH.BC=AB.AC\text{( hệ thức lượng )}\\BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\text{( định lí py-ta-go )} \end{cases}$

Đặt : `AB^{2}=a;AC^{2}=b`

`<=>`$\begin{cases} AH.BC=ab\\BC^{2}=a^{2}+b^{2} \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} 12.25=ab\\25^{2}=a^{2}+b^{2} \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} ab=300\\a^{2}+b^{2}=625 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} ab=300\\a^{2}+b^{2}=625 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} b=\dfrac{300}{a}\\a^{2}+\dfrac{300^2}{a^2}=625 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} b=\dfrac{300}{a}\\\dfrac{a^4}{a^2}+\dfrac{300^2}{a^2}=\dfrac{625a^2}{a^2} \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} b=\dfrac{300}{a}\\a^{4}-625a^{2}+90000=0 \end{cases}$

Đặt `x=a^{2}>=0`

`<=>`$\begin{cases} b=\dfrac{300}{a}\\x^{2}-625x+90000=0 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} b=\dfrac{300}{a}\\\left[\begin{matrix} x=400\\ x=225\end{matrix}\right. \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} b=\dfrac{300}{a}\\\left[\begin{matrix} a=20\\ a=15\end{matrix}\right. \end{cases}$ `(` loại bỏ trường hợp âm vì đây là độ dài `)`

`<=>`$\begin{cases} \begin{cases} a=20\\b=\dfrac{300}{a} \end{cases}\\\begin{cases} a=15\\b=\dfrac{300}{a} \end{cases} \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} \begin{cases} a=20\\b=15 \end{cases}\\\begin{cases} a=15\\b=20 \end{cases} \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} \begin{cases} AB^{2}=20\\AC^{2}=15 \end{cases}\\\begin{cases} AB^{2}=15\\AC^{2}=20 \end{cases} \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} \begin{cases} AB=\sqrt{20}\\AC=\sqrt{15} \end{cases}\\\begin{cases} AB=\sqrt{15}\\AC=\sqrt{20} \end{cases} \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} \begin{cases} AB=2\sqrt{5}cm\\AC=\sqrt{15}cm \end{cases}(1)\\\begin{cases} AB=\sqrt{15}cm\\AC=2\sqrt{5}cm \end{cases}(2) \end{cases}$

Trường hợp `1:` `AB=2\sqrt{5}cm;AC=\sqrt{15}cm`

`+` Vì `ΔABC` vuông tại `A` nên ta có cặp tỉ số lượng giác như sau :

`-sinB=cosC=(AC)/(BC)=\sqrt{15}/(25)`

`-cosB=sinC=(AB)/(BC)=(2\sqrt{5})/(25)`

`-tanB=cotC=(AC)/(AB)=\sqrt{3}/(2)`

`-cotB=tanC=(AB)/(AC)=2/\sqrt{3}`

Trường hợp `2:` `AB=\sqrt{15}cm;AC=2\sqrt{5}cm`

`+` Vì `ΔABC` vuông tại `A` nên ta có cặp tỉ số lượng giác như sau :

`-sinB=cosC=(AC)/(BC)=(2\sqrt{5})/(25)`

`-cosB=sinC=(AB)/(BC)=(\sqrt{15})/(25)`

`-tanB=cotC=(AC)/(AB)=2/\sqrt{3}`

`-cotB=tanC=(AB)/(AC)=\sqrt{3}/2`

Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $AH=\sqrt{AC^2-HC^2}=12$

$\to \sin C=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{12}{13}$

      $\cos C=\dfrac{CH}{CA}=\dfrac5{13}$

      $\tan C=\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{12}5$

      $\cot C=\dfrac{HC}{HA}=\dfrac5{12}$

Vì $\hat B+\hat C=90^o$

$\to \sin B=\cos C=\dfrac{5}{13}$

     $\cos B=\sin C=\dfrac{12}{13}$

     $\tan B=\cot C=\dfrac{5}{12}$

     $\cot B=\tan C=\dfrac{12}5$

2.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC$

$\to AH^2=HB.HC=12$

$\to AH=2\sqrt3$

$\to AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{21}$

$\to \sin C=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{2}{\sqrt{7}}$

      $\cos C=\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{3}{\sqrt{21}}$

      $\tan C=\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{2\sqrt3}3$

      $\cot C=\dfrac{HC}{HA}=\dfrac3{2\sqrt3}$

Vì $\hat B+\hat C=90^o$

$\to \sin B=\cos C=\dfrac{3}{\sqrt{21}}$

     $\cos B=\sin C=\dfrac{2}{\sqrt{7}}$

     $\tan B=\cot C=\dfrac3{2\sqrt3}$

     $\cot B=\tan C=\dfrac{2\sqrt3}3$

3.Ta có: $AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=10$

$\to \sin C=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac45$

      $\cos C=\dfrac{CH}{CA}=\dfrac35$

      $\tan C=\dfrac{HA}{HC}=\dfrac43$

      $\cot C=\dfrac{HC}{HA}=\dfrac34$

Vì $\hat B+\hat C=90^o$

$\to \sin B=\cos C=\dfrac{3}5$

     $\cos B=\sin C=\dfrac45$

     $\tan B=\cot C=\dfrac34$

     $\cot B=\tan C=\dfrac43$

4.Đặt $HB=x\to HC=BC-HB=25-x$

$\to AH^2=HB.HC$

$\to 12^2=x(25-x)$

$\to x\in\{9, 16\}$

Trường hợp $x=9$

$\to HB=9, HC=16$ 

$\to AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=20$

$\to \sin C=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac35$

      $\cos C=\dfrac{CH}{CA}=\dfrac45$

      $\tan C=\dfrac{HA}{HC}=\dfrac34$

      $\cot C=\dfrac{HC}{HA}=\dfrac43$

Vì $\hat B+\hat C=90^o$

$\to \sin B=\cos C=\dfrac{4}5$

     $\cos B=\sin C=\dfrac35$

     $\tan B=\cot C=\dfrac43$

     $\cot B=\tan C=\dfrac34$

Trường hợp $x=16$

$\to BH=16, HC=9$

$\to AC=\sqrt{HA^2+HC^2}=15$

$\to \sin C=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac45$

      $\cos C=\dfrac{CH}{CA}=\dfrac35$

      $\tan C=\dfrac{HA}{HC}=\dfrac43$

      $\cot C=\dfrac{HC}{HA}=\dfrac34$

Vì $\hat B+\hat C=90^o$

$\to \sin B=\cos C=\dfrac{3}5$

     $\cos B=\sin C=\dfrac45$

     $\tan B=\cot C=\dfrac34$

     $\cot B=\tan C=\dfrac43$