Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Áp dụng bun phân thức ` ((a+b+c)^2)/(x+y+z) <= (a^2)/x + (b^2)/y + (c^2 )/z ` ta được:

`1/(2x+y+z) = 1/9 . (( 3/2 + 2/4 + 3/4 )^2 )/(2x+y+z) <= 1/9 .( ((3/2)^2)/(2x) + ((3/4)^2)/y + ((3/4)^2)/z ) = 1/9 . ( 9/(8x)+ 9/(16y)+ 9/(16z))``(1)`

CMTT: `1/(x+2y+z) <= 1/9 . (9/(16x)+ 9/(8y)+ 9/(16z))``(2)`

`1/(x+y+2z) <= 1/9 .( 9/(16x)+ 9/(16y)+ 9/(8z))``(3)`

Cộng các vế bất đẳng thức cùng chiều `(1);(2);(3)` ta được:

`1/(2x+y+z)  + 1/(x+2y+z) + 1/(x+y+2z)  <= 1/9 . ( 9/(4x)+ 9/(4y)+ 9/(4z) )= 1/9 . 9/4 . ( 1/x + 1/y + 1/z )= 1/4 . 4 = 1`

Dấu "`=`" xảy ra `<=> x=y=z = 3/4`

Vậy với `x=y=z = 3/4` thì biểu thức đạt gtln `=1`

$\\$ $Ta$ $chứng$ $minh$ $:$ $\\$ $\frac{1}{a+b} \le \frac{1}{4} (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ $với$ $(a,b>0)$ $\\$ <=>$\frac{1}{a+b}\le \frac{a+b}{4ab}$ $\\$ <=>$4ab \le (a+b)^{2}$ $\\$ <=>$0 \le (a-b)^{2}$ $($ $Luôn$ $đúng$ $\forall$ $a,b>0$ $)$ $\\$ =>$\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{(x+y)+(x+z)} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} ) \le \frac{1}{4}(\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}))=\frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ $\\$ $Chứng$ $minh$ $tương$ $tự$ $:$ $\\$ =>$\frac{1}{x+2y+z} \le \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z})$ $\\$ =>$\frac{1}{x+y+2z} \le \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z})$ $\\$ =>$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \le \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z})+\frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}) =\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=1$ $\\$ $Điều$ $phải$ $chứng$ $minh$ $.$ $Dấu$ $"="$ $khi$ $x=y=z=\frac{3}{4}$ Đáp án:

Giải thích các bước giải: