Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \dfrac{m}{2} \ne \dfrac{-2}{-m}$

$\Leftrightarrow -m^2 \ne -4$

$\Leftrightarrow m^2 \ne 4$

$\Leftrightarrow m \ne \pm 2$

$\begin {cases} mx - 2y = 2m - 1\\ 2x - my = 9 - 3m \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} mx - 2m = 2y - 1 \\ 2x - my = 9 - 3m \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} m(x - 2) + 1 = 2y \\ 2x - my = 9 - 3m \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y = \dfrac{m(x - 2) + 1}{2} \\ 2x - m\bigg(\dfrac{m(x - 2) + 1}{2}\bigg) = 9 - 3m \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y = \dfrac{m(x - 2) + 1}{2} \\ 2x - \dfrac{m^2(x - 2) + m}{2} = 9 - 3m \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y = \dfrac{m(x - 2) + 1}{2} \\ \dfrac{4x - m^2(x - 2) - m}{2} = 9 - 3m \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y = \dfrac{m(x - 2) + 1}{2} \\ 4x - m^2x + 2m^2 - m = 18 - 6m \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y = \dfrac{m(x - 2) + 1}{2} \\ x(4 - m^2) = 18 - 5m - 2m^2 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y = \dfrac{m(x - 2) + 1}{2} \\ x = \dfrac{18 - 5m - 2m^2}{4 - m^2} \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y = \dfrac{m(x - 2) + 1}{2} \\ x = \dfrac{(2 - m)(9 + 2m)}{(2 + m)(2 - m)} \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y = \dfrac{m\bigg(\frac{9 + 2m}{2 + m} - 2\bigg) + 1}{2} \\ x = \dfrac{9 + 2m}{2 + m} \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y = \dfrac{m . \frac{5}{2 + m} + 1}{2} \\ x = \dfrac{9 + 2m}{2 + m} \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y = \dfrac{\frac{6m + 2}{2 + m}}{2} \\ x = \dfrac{9 + 2m}{2 + m} \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y = \dfrac{3m + 1}{2 + m} \\ x = \dfrac{9 + 2m}{2 + m} \end {cases}$

Vậy với mọi $m \ne \pm 2$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x; y) = \bigg(\dfrac{9 + 2m}{2 + m}; \dfrac{3m + 1}{2 + m}\bigg)$

b) Ta có: $S = x^2 + y^2$
$\Leftrightarrow S = \bigg(\dfrac{9 + 2m}{2 + m}\bigg)^2 + \bigg(\dfrac{3m + 1}{2 + m}\bigg)^2$

$\Leftrightarrow S = \dfrac{(2m + 9)^2 + (3m + 1)^2}{(2 + m)^2}$

$\Leftrightarrow S = \dfrac{4m^2 + 36m + 81 + 9m^2 + 6m + 1}{(2 + m)^2}$

$\Leftrightarrow S = \dfrac{13m^2 + 42m + 82}{m^2 + 4m + 4}$

$\Leftrightarrow S = \dfrac{13m^2 + 52m + 52}{m^2 + 4m + 4} - \dfrac{10m - 30}{m^2 + 4m + 4}$

$\Leftrightarrow S = \dfrac{13(m^2 + 4m + 4)}{m^2 + 4m + 4} - \dfrac{10m - 30}{(m + 2)^2}$

$\Leftrightarrow S = 13 - \dfrac{10m + 20}{(m + 2)^2} + \dfrac{50}{(m + 2)^2}$

$\Leftrightarrow S = 13 - \dfrac{10}{m + 2} + \dfrac{50}{(m + 2)^2}$
Đặt $t = \dfrac{1}{m + 2} \Leftrightarrow S = 13 - 10t + 50t^2$

$\Leftrightarrow S = 50\bigg(t^2 - \dfrac{1}{5}t + \dfrac{13}{50}\bigg)$
$\Leftrightarrow S = 50\bigg(t^2 - \dfrac{1}{5}t + \dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{4}\bigg)$

$\Leftrightarrow S = 50\bigg(t^2 - \dfrac{1}{5}t + \dfrac{1}{100}\bigg) + \dfrac{25}{2}$

$\Leftrightarrow S = 50\bigg(t - \dfrac{1}{10}\bigg)^2 + \dfrac{25}{2}$

$\Rightarrow S \ge \dfrac{25}{2}$ với mọi $t$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow t - \dfrac{1}{10} = 0$

$\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{10}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{m + 2} = \dfrac{1}{10}$

$\Leftrightarrow m = 8$

Vậy với $m = 8$ thì $S = x^2 + y^2$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{25}{2}$

`a,` Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì:

`m/2 ne (-2)/(-m)`

`<=>m^2 ne 4`

`<=> m ne +- 2`

`{(mx-2y=2m-1),(2x-my=9-3m):}`

`<=>{(m^2x-2my=2m^2-m),(4x-2my=18-6m):}`

`<=>{(m^2x -4x=2m^2 +5m-18),(mx-2y=2m-1):}`

`<=>{((m^2-4)x=(2m+9)(m-2)),(mx-2y=2m-1):}`

`<=>{((m+2)x=2m+9),(mx-2y=2m-1):}`

`<=>{(x=(2m+9)/(m+2)),(m . (2m+9)/(m+2)-2y=2m-1):}`

`<=>{(x=(2m+9)/(m+2)),(2y=(2m^2+9m)/(m+2)-(2m-1)):}`

`<=>{(x=(2m+9)/(m+2)),(2y=(6m+2)/(m+2)):}`

`<=>{(x=(2m+9)/(m+2)),(y=(3m+1)/(m+2)):}`

`b,S=x^2+y^2`

`=((2m+9)/(m+2))^2 + ((3m+1)/(m+2))^2`

`=(4m^2 +36m+81+9m^2 + 6m+1)/(m+2)^2`

`=(13m^2 +42m+82)/(m+2)^2`

`=50/(m+2)^2 -10/(m+2) +13`

Đặt `1/(m+2) =a` ta có:

`S=50a^2 -10a+13`

`=50(a^2 - 1/5 a + 13/50)`

`=50(a^2 - 2 . 1/10 . a+ 1/100 + 1/4)`

`=50[(a- 1/10)^2 +1/4]`

`=50(a-1/10)^2 + 25/2 >= 25/2`

Dấu "=" xảy ra `<=>a=1/10<=>1/(m+2)=1/10<=>m+2=10<=>m=8`

Vậy `S_(min) = 25/2 <=> m =8`