1. Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1.

Câu hỏi :

1. Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 12. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

1. Gọi AiAj là hai điểm xa nhau nhất trong các điểm thuộc tập hợp 8073 điểm đã cho.

Giả sử Ak là điểm cách xa đoạn thẳng AiAjnhất . Khi đó

Tam giác AiAjAk là tam giác lớn nhất và có diện tích hông lớn hơn 1

Vẽ các đường thẳng đi qua các điểm  Ai, Aj, Ak  lần lượt song song với các cạnh của tam giác AiAjAk

Ta được 4 tam giác nhỏ bằng nhau và một tam giác lớn chứa cả 4 tam giác nhỏ

Tam giác lớn có diện tích không quá 4 đơn vị. Do đó, tam giác lớn chứa tất cả 8073 điểm đã cho

Ta có 8073 chia cho 4 được 2018 và dư là 1 nên theo nguyên lý Dirichlet suy ra có ít nhất 1 trong 4 tam giác có 1 tam giác chứa 2019 trong 8073 điểm đã cho.

2. Đặt P = \(a\sqrt {{b^3} + \,\,1} \,\, + \,\,b\sqrt {{c^3} + \,\,1} \,\, + \,\,c\sqrt {{a^3} + \,\,1} \) suy ra

\(2P = 2a\sqrt {{b^3} + \,\,1} \,\, + \,\,2b\sqrt {{c^3} + \,\,1} \,\, + \,\,2c\sqrt {{a^3} + \,\,1} \)

\(\begin{array}{l}
 = 2a\sqrt {\left( {b\,\, + \,\,1} \right)\left( {{b^2}\,b\,\, + \,\,1} \right)}  + \,\,2b\sqrt {\left( {c\,\, + \,\,1} \right)\left( {{c^2} - \,\,c\,\, + \,\,1} \right)}  + \,\,2c\sqrt {\left( {a\,\, + \,\,1} \right)\left( {{a^2} - \,\,a\,\, + \,\,1} \right)} \\
 \le \,\,a\left( {{b^2} + \,\,2} \right)\, + \,\,b\left( {{c^2} + \,\,2} \right)\,\, + \,\,c\left( {{a^2} + \,\,2} \right) = a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} + 6 = Q + 6
\end{array}\)

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(b\,\, \le \,\,c\,\, \le \,\,a\) ta có

\(b\left( {a\,\, - \,\,c} \right)\left( {c\,\, - \,\,b} \right)\,\, \ge \,\,0 \Leftrightarrow \,\,abc\,\, + \,\,{b^2}c\,\, \ge \,\,a{b^2} + \,\,b{c^2} \Leftrightarrow \,\,a{b^2} + \,\,b{c^2} + \,\,c{a^2} \le \,\,abc\,\, + \,\,{b^2}c\,\, + \,\,c{a^2}\) 

Do đó Q \( \le \,\,abc\,\, + \,\,{b^2}c\,\, + \,\,c{a^2} \le \,\,2abc\,\, + \,\,{b^2}c\,\, + \,\,c{a^2} = \,\,c{\left( {a\,\, + \,\,b} \right)^2} = \,\,4c\frac{{a\,\, + \,\,b}}{2}.\frac{{a\,\, + \,\,b}}{2}\) 

\( \le \,\,\frac{4}{{27}}{\left( {c\,\, + \,\,\frac{{a\, + \,\,b}}{2}\,\, + \,\,\frac{{a\, + \,\,b}}{2}} \right)^3} = \,\,\frac{{4{{\left( {a\,\, + \,\,b\,\, + \,\,c} \right)}^2}}}{{27}}\,\, = \,\,\frac{{{{4.3}^3}}}{{27}}\,\, = \,\,4\) 

Do đó \(2P \le 10 \Leftrightarrow P \le 5\). Dấu “=” xảy ra khi a + b + c = 3, \(b\,\, \le \,\,c\,\, \le \,\,a\), 2c = a + b, abc = 2abc

<=> b = 0, c = 1, a = 2

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 9

Lớp 9 - Là năm cuối ở cấp trung học cơ sở, sắp phải bước vào một kì thi căng thẳng và sắp chia tay bạn bè, thầy cô và cả kì vọng của phụ huynh ngày càng lớn mang tên "Lên cấp 3". Thật là áp lực nhưng các em hãy cứ tự tin vào bản thân là sẻ vượt qua nhé!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK