Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng:
1) Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CEHD nội tiếp.
b) Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
c) \[AE.AC = AH.AD;\,\,AD.BC = BE.AC\].
d) H và M đối xứng với nhau qua BC.
2) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
1) AD,BE là đường cao của ∆ABC nên \[\widehat {CEH} = \widehat {HDC} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat {CEH} + \widehat {HDC} = 180^\circ \]
Suy ra tức giác CEHD là tứ giác nội tiếp (điều cần chứng minh)
Nhận xét: Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh tổng hai góc đối diện bằng \[180^\circ \]
Tứ giác CEHD có tổng cặp góc đối diện bằng \[180^\circ \]: \[\widehat {CEH} + \widehat {HDC} = 180^\circ \] nên là tứ giác nội tiếp.
2) CF, BE là đường cao của ∆ABC nên \[\widehat {CEB} = \widehat {BFC} = 90^\circ \]
=> Điểm E, F thuộc đường tròn đường kính BC.
=> B, C, E, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC (điều cần chứng minh).
Nhận xét: Bài toán chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn bằng cách chứng minh hai điểm nhìn một cạnh tạo bởi hai điểm còn lại cùng dưới một góc vuông.
3) Tam giác AEH và ADH có chung góc tại đỉnh A và \[\widehat {AEH} = \widehat {ADC} = 90^\circ \] nên ∆AEH đồng dạng với ∆ADC \[ \Rightarrow \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AE.AC = AH.AD\] (điều cần chứng minh).
Tam giác BEC và ADC có chung góc tại đỉnh C và \[\widehat {BEC} = \widehat {ADC} = 90^\circ \] nên ∆BEC ∆ADC
\[ \Rightarrow \frac{{BE}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow AD.BC = CE.AC\] (điều cần chứng minh).
Nhận xét: Bài toán chứng minh các đẳng thức bằng cách chứng minh các cặp tam giác đồng dạng.
4) Ta có:
\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\] (cùng phụ với \[\widehat {FBC}\]);
\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_2}}\] (cùng chắn cung của (O));
Suy ra \[\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\]
⇒ CD là phân giác của \[\widehat {HCM}\]
Tam giác CHM có CD vừa là phân giác vừa là đường cao nên cân tại C, suy ra CD đồng thời cũng la trung trực của HM.
⇒ H, M đối xứng với nhau qua BC (điều cần chứng minh).
5) Ta có:
\[\widehat {{E_1}} = \widehat {{C_1}}\] (cùng chắn cung trong đường tròn đi qua bốn điểm B, C, E, F);
\[\widehat {{C_1}} = \widehat {{E_2}}\] (cùng chắn cung trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEHD);
Suy ra: \[\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\]
⇒ EB là phân giác của \[\widehat {FED}\].
Chứng minh tương tự: FC là phân giác của \[\widehat {DFE}\]
Mà \[FC \cap EB = \left\{ H \right\}\] nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưLớp 9 - Là năm cuối ở cấp trung học cơ sở, sắp phải bước vào một kì thi căng thẳng và sắp chia tay bạn bè, thầy cô và cả kì vọng của phụ huynh ngày càng lớn mang tên "Lên cấp 3". Thật là áp lực nhưng các em hãy cứ tự tin vào bản thân là sẻ vượt qua nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK