Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có

$\left( 3x^2 + \dfrac{1}{x} \right)^n = (3x^2 + x^{-1})^n$

$= \sum_{k=0}^n C_n^k .(3x^2)^k. x^{-1(n-k)}$

$= \sum_{k=0}^n C_n^k . 3^k . x^{2k-n+k}$

$ = \sum_{k=0}^n C_n^k . 3^k . x^{3k-n}$

Khi đó, tại hệ số của $x^3$ thì $k$ là

$3k-n = 3$

$<-> k = \dfrac{n+3}{3}$

Vậy hệ số của $x^3$ là

$3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{\frac{n+3}{3}} = 81 . C_n^5$

$<-> 3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{\frac{n+3}{3}} = 3^4. C_n^5$

Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n-k}$ ta có

$3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{\frac{n+3}{3}} = 3^4. C_n^5$

$<> 3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{n-\frac{n+3}{3}} = 3^4. C_n^5$

$<-> 3^{\frac{n+3}{3}} . C_n^{\frac{2n-3}{3}} = 3^4. C_n^5$

Vậy ta có $\dfrac{n+3}{3} = 4$ và $\dfrac{n+3}{3} = 5$ hoặc $\dfrac{n+3}{3} = 4$ và $5 = n-\dfrac{n+3}{3}$.

TH1: $\dfrac{n+3}{3} = 4$ và $\dfrac{n+3}{3} = 5$

Điều này là vô lý nên trường hợp này ko có $n$ thỏa mãn

TH2: $\dfrac{n+3}{3} = 4$ và $5 = n-\dfrac{n+3}{3}$

Giải cả 2 ptrinh ta đều có $n = 9$.

Do đó $n = 9$.