Giải thích các bước giải:

a,

Xét hai tam giác ABD và ACD có:

\(AB = AC\) (do tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \,\,\,\,\,\left( {AD \bot BC} \right)\)

\(AD\): cạnh chung

Suy ra ΔABD = ΔACD (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Do đó, \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) (2 góc tương ứng)

Vậy AD là phân giác của góc A.

b,

Theo phần a,  ΔABD = ΔACD

Suy ra BD = CD (2 cạnh tương ứng)

Vậy D là trung điểm của BC.

c,

Xét hai tam giác vuông BMD và CND có:

\(BD = DC\) (chứng minh phần b)

\(\widehat {DBM} = \widehat {DCN}\) (do tam giác ABC cân tại A).

Suy ra ΔBMD = ΔCND (cạnh huyền - góc nhọn)

Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}
DM = DN\\
BM = CN
\end{array} \right.\)  (các cạnh tương ứng)

d,

Do \(AB = AC,\,\,BM = CN \Rightarrow AM = AN\) hay tam giác AMN cân tại A

Suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = \frac{{180^\circ  - \widehat A}}{2}\)

Tam giác ABC cũng cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ  - \widehat A}}{2}\)

Do đó, \(\widehat {AMN} = \widehat {ABC}\)

Suy ra MN//BC (do 2 góc trên ở vị trí đồng vị).