Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) A= n^2(n+1) +2n(n+1)= (n+1)(n^2+2n)=n(n+1)(n+2) chia hết cho 6 với mọi n thuộc Z ( vì tích 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 6)

B)

Áp dụng hằng đẳng thức (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 ta có

A=n3+(n+1)3+(n+2)3A=n3+(n+1)3+(n+2)3

=n3+n3+3n2+3n+1+n3+6n2+12n+8=n3+n3+3n2+3n+1+n3+6n2+12n+8

=3n3+9n2+15n+9=3n3+9n2+15n+9

=3(n3+5n)+9(n2+1)=3(n3+5n)+9(n2+1)

Vậy để chứng minh AA chia hết cho 9 thì ta sẽ cminh 3(n3+5n)3(n3+5n) chia hết cho 9 hay n3+5nn3+5n chia hết cho 3.

Nếu nn chia hết cho 3 thì hiển nhiên n3+5n=n(n2+5)n3+5n=n(n2+5) chia hết cho 3. Do đó A chia hết cho 9.

Giả sử nn chia 3 dư 1, khi đó tồn tại một số tự nhiên kk sao cho n=3k+1n=3k+1. Thay vào ta có

n3+5n=n(n2+5)n3+5n=n(n2+5)

=(3k+1)[(3k+1)2+5]=(3k+1)[(3k+1)2+5]

=(3k+1)(9k2+6k+1+5)=(3k+1)(9k2+6k+1+5)

=(3k+1)(9k2+6k+6)=(3k+1)(9k2+6k+6)

=(3k+1)3(3k2+2k+2)=(3k+1)3(3k2+2k+2)

Vậy n3+5nn3+5n chia hết cho 3, do đó 3(n3+5n)3(n3+5n) chia hết cho 9 nên AA chia hết cho 9.

Với nn chia 3 dư 2, tồn tại một số tự nhiên kk sao cho n=3k+2n=3k+2. Thay vào ta có

n3+5n=n(n2+5)n3+5n=n(n2+5)

=(3k+2)[(3k+2)2+5]=(3k+2)[(3k+2)2+5]

=(3k+2)(9k2+12k+4+5)=(3k+2)(9k2+12k+4+5)

=(3k+2)(9k2+12k+9)=(3k+2)(9k2+12k+9)

=(3k+2)3(3k2+4k+3)=(3k+2)3(3k2+4k+3)

Vậy n3+5nn3+5n chia hết cho 3, do đó 3(n3+5n)3(n3+5n) chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9.

Vậy trong mọi trường hợp với nn, A đều chia hết cho 9.

Đáp án + giải thích câu a) :

a)

Ta có : A = $n^{2}( n + 1 )$ + $2n( n + 1 )$ $\vdots$ 6

⇒ $(n + 1)(n^{2} + 2n )$ $\vdots$ 6

⇒ $n(n+1)(n+2)$ $\vdots$ 6

Với 3 số tự nhiên liên tiếp thì chắc chắn sẽ có 1 số nguyên chia hết cho 2 và 1 số nguyên chia hết cho 3 nên tích của 3 số nguyên đó sẽ chia hết cho 6

⇒ $n(n+1)(n+2)$ $\vdots$ 6