a)

Xét $\Delta ANC$ và $\Delta AMB$:

$\widehat{ANC}=\widehat{AMB}\,(=90^o)$

AB=AC ($\Delta ABC$ cân tại A)

$\widehat{BAC}$: chung

$\to \Delta ANC=\Delta AMB$ (g.c.g)

$\to$ AN=AM (2 cạnh tương ứng)

$\to \Delta AMN$ cân tại A

b)

Gọi D là giao của BM và CN

$\to $ D là trực tâm $\Delta ABC$ 

$\to AD\bot BC$

$\to$ AD là phân giác $\widehat{BAC}$ (đường cao đồng thời là phân giác)

Vì $\Delta AMN$ cân tại A

$\to AD\bot MN$ (đường phân giác đồng thời là đường cao)

$\to MN//BC\,(\bot AD)$

$\text{a) Xét ΔANC và ΔAMB có:}$

$\text{$\widehat{A}$ chung}$

$\text{AN = AM (ΔABC cân tại A)}$

$\text{$\widehat{ANC}$ = $\widehat{AMB}$ = $90^{o}$ (CN ⊥ AB, BM ⊥ AC)}$

⇒ $\text{ΔANC = ΔAMB (ch-gn)}$

⇒ $\text{AN = AM (2 cạnh tương ứng)}$

⇒ $\text{ΔAMN cân tại A (DHNB)}$

$\text{b) Xét ΔABC có:}$

$\text{$\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$ + $\widehat{CAB}$ = $180^{o}$ (đl tổng 3 góc Δ)}$

$\text{mà $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (ΔABC cân tại A)}$

⇒ $\text{2$\widehat{ABC}$ = $180^{o}$ - $\widehat{CAB}$ (1)}$

$\text{Xét ΔAMN có:}$

$\text{$\widehat{ANM}$ + $\widehat{AMN}$ + $\widehat{CAB}$ = $180^{o}$ (đl tổng 3 góc Δ)}$ 

$\text{mà $\widehat{ANM}$ = $\widehat{AMN}$ (ΔAMN cân tại A)}$

⇒ $\text{2$\widehat{ANM}$ = $180^{o}$ - $\widehat{CAB}$ (2)}$

$\text{Từ (1), (2) ⇒ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ANM}$}$

$\text{mà 2 góc này ở vị trí đồng vị}$

⇒ $\text{NM // BC (DHNB)}$