Ta có $AH\bot BC, MN\bot BC$

$\to AH//MN$

$\Delta AHC$ có $MN//AH$, $M$ là trung điểm $AC$

$\to MN$ là đường trung bình

$\to N$ là trung điểm của $CH$

$\Delta AHC$ có $N, K$ là trung điểm $HC, HA$

$\to NK$ là đường trung bình

$\to NK//AC$

Mà $AC\bot AB$ nên $NK\bot AB$

$\Delta ABN$ có $AK\bot BN=H, NK\bot AB$ nên $K$ là trực tâm

$\to BK$ là đường cao 

Vậy $BK\bot AN$ 

Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\text{Ta có : AH là đường cao Δ ABC}$ 

$\text{⇒ AH ⊥ BC}$ 

$\text{Mà: MN ⊥ AH}$ 

$\text{⇒ MN ⊥ BC}$ 

$\text{⇒ $\widehat{AHN}$ = $\widehat{MNC}$ = $90^{o}$ }$ 

$\text{Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.}$ 

$\text{⇒ AH // MN}$ 

$\text{Xét ΔAHC có: }$ 

$\text{MN//AH}$ 

$\text{M là trung điểm AC ( gt )}$ 

$\text{⇒ MN là đường trung bình ΔAHC}$ 

$\text{⇒ N là trung điểm của CH}$ 

$\text{Xét ΔAHC có :}$ 

$\text{N là trung điểm của CH ( CMT )}$ 

$\text{K là trung điểm HA ( gt )}$

$\text{⇒ NK là đường trung bình ΔAHC}$ 

$\text{⇒ NK // AC}$ 

$\text{Mà AC ⊥ AB}$ 

$\text{⇒  NK ⊥ AB}$ 

$\text{Ta có : AH ⊥ BN}$ 

$\text{Mà K ∈ AH}$ 

$\text{⇒ AK ⊥ BN}$ 

$\text{Xét ΔABN có:}$ 

$\text{AK ⊥ BN ( CMT )}$ 

$\text{NK ⊥ AB }$ 

$\text{⇒ K là trực tâm ΔABN}$ 

$\text{⇒ BK là đường cao ΔABN}$ 

$\text{⇒ BK ⊥ AN}$