`a)` `AB` là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$

`=>AB`$\perp OB$

`=>AM`$\perp OB$

Mà $NO\perp OB$ (gt)

`=>AM`//$NO$ $(1)$

$\\$

`AC` là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$

`=>AC`$\perp OC$

`=>AN`$\perp OC$

Mà $MO\perp OC$ (gt)

`=>AN`//$MO$ $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>AMON` là hình bình hành  $(3)$

$\\$

Xét $∆ABO$ và $∆ACO$ có:

`\qquad \hat{ABO}=\hat{ACO}=90°`

`\qquad AO` là cạnh chung 

`\qquad BO=CO=R`

`=>∆ABO=∆ACO` (cạnh huyền -cạnh góc vuông)

`=>\hat{BAO}=\hat{CAO}`

`=>AO` là phân giác của `\hat{BAC}`

`=>AO` là phân giác `\hat{MAN}` $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)=>AMON` là hình thoi (hình bình hành có 1 đường chéo là phân giác 1 góc là hình thoi)

$\\$

`b)` Gọi $H$ là giao điểm của $MN$ và $AO$

Vì $AMON$ là hình thoi (c/m trên)

`=>H` là trung điểm $AO$

`=>AH=OH={AO}/2={2R}/2=R` $(5)$

`\qquad MN`$\perp AO$ tại $H$ (tính chất hình thoi)

`=>MN`$\perp OH$ $(6)$

$\\$

Từ `(5);(6)=>MN` là tiếp tuyến tại $H$ của $(O;R)$ (đpcm)

$\\$

`c)` Xét $∆ABO$ vuông tại $B$

`=>sin\hat{BAO}={BO}/{AO}=R/{2R}=1/ 2`

`=>\hat{BAO}=30°=\hat{MAH}`

$\\$

Xét $∆AMH$ vuông tại $H$

`=>tan\hat{MAH}=tan30°={MH}/{AH}`

`=>MH=AH . tan30°=R .\sqrt{3}/3={R\sqrt{3}}/3`

$\\$

Vì $H$ là trung điểm $MN$ (tính chất hình thoi)

`=>MN=2MH=2. {R\sqrt{3}}/3={2R\sqrt{3}}/3`

`S_{AMON}=1/ 2 MN .AO`

`=1/ 2 . {2R\sqrt{3}}/3 . 2R={2R^2\sqrt{3}}/3`

Vậy diện tích hình thoi `AMON` là:

`\qquad` `S_{AMON}={2R^2\sqrt{3}}/3`