`a)` Xét tứ giác $AMNB$ có:

$\quad AM\perp AB$ $(1)$

$\quad BN\perp AB$

`=>AM`//$BN$

`=>AMNB ` là hình thang 

Ta có:

`\qquad O` là trung điểm $AB$

`\qquad I` là trung điểm $MN$

`=>OI` là đường trung bình hình thang $AMNB$

`=>OI`//$AM$ $(2)$

Từ `(1);(2)=>AB`$\perp OI$ tại $O$

`=>AB` là tiếp tuyến tại $O$ của $(I;IO)$ (đpcm)

$\\$

`b)` `\hat{MON}=90°` (gt)

`=>∆MON` vuông tại $O$

`\qquad I` là trung điểm $MN$ (gt)

`=>OI` là trung tuyến $∆MON$

`=>OI=MI=1/ 2 MN`

$\\$

`=>∆IMO` cân tại $I$

`=>\hat{IMO}=\hat{IOM}`

$\\$

Vì $OI$//$AM$ (câu a)

`=>\hat{AMO}=\hat{IOM}` (hai góc so le trong)

`=>\hat{IMO}=\hat{AMO}`

Mà tia $MO$ nằm giữa hai tia $MI$ và $MA$

`=>MO` là phân giác của `\hat{AMI}`

`=>MO` là phân giác của `\hat{AMN}` (đpcm)

$\\$

`c)` Vẽ $OH\perp MN$ tại $H$

Xét $∆MHO$ và $∆MAO$ có:

`\qquad \hat{MHO}=\hat{MAO}=90°`

`\qquad MO` là cạnh chung 

`\qquad \hat{HMO}=\hat{AMO}` (câu b)

`=>∆MHO=∆MAO` (cạnh huyền -góc nhọn)

`=>OH=OA`

Mà `OA=1/ 2 AB=>OH=1/ 2 AB`

$\\$

Vì $OH\perp MN$ tại $H$ và `OH=1/ 2 AB`

`=>MN` là tiếp tuyến tại $H$ của `(O)` đường kính $AB$ (đpcm)