Gọi $R$ là bán kính $(O)$

`a)` $AM;AN$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$ ($M;N$ lần lượt là hai tiếp điểm)

`=>AM=AN`

Mà $OM=ON=R$

`=>OA` là đường trung trực của $MN$

Gọi $H$ là trung điểm $MN$

`=>OA`$\perp MN$ tại $H$ (đpcm)

$\\$

`b)` Vì $NC$ là đường kính của $(O;R)$

`=>NC=2R; O` là trung điểm $NC$

`=>MO` là trung tuyến $∆MNC$ 

Mà `MO=R=1/ 2 NC`

`=>∆MNC` vuông tại $M$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)

$\\$

`=>MC`$\perp MN$

Vì $AO\perp MN$ (câu a)

`=>MC`//$AO$ (đpcm)

$\\$

`c)` $OM=3cm; OA=5cm$

Xét $∆AMO$ vuông tại $M$

`=>AM^2+OM^2=OA^2` (định lý Pytago)

`=>AM^2=OA^2-OM^2=5^2-3^2=16`

`=>AM=\sqrt{16}=4cm`

`=>AN=AM=4cm` (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\\$

Xét $∆AMO$ vuông tại $M$ đường cao $MH$

`=>1/{MH^2}=1/{AM^2}+1/{OM^2}` (hệ thức lượng)

`\qquad =1/{4^2}+1/{3^2}={25}/{144}`

`=>MH^2={144}/{25}`

`=>MH=\sqrt{{144}/{25}}=2,4cm`

$\\$

Vì $H$ là trung điểm $MN$ (câu a)

`=>MN=2MH=2 .\ 2,4=4,8cm`

Vậy độ dài các cạnh của $∆AMN$ là:

`AM=AN=4cm; MN=4,8cm`