`a)`

`\text{ΔABC vuông tại A , theo điinhj lí Py-ta-go :}`

`=> AC^2 = BC^2 - AB^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 => AC = 4 cm`

`b)`

`\text{Nối BE}`

`\text{Xét Δ vuông ABE và Δ vuông DBE có :}`

`\text{BE chung}`

`\text{BA = BD (gt)}`

`=> \text{Δ vuông ABE = Δ vuông DBE (c.h-c,g.v)}`

`=> \hat{ABE} = \hat{DBE} => \text{BE là tia phân giác góc ABC}`

`c)`

`\text{ΔEDC vuông tại D nên :} => \hat{D} = 90^0 => \text{EC lớn nhất}` 

`=> EC > ED`

`\text{Mà : ED = EA (ΔABE = ΔDBE)}`

`=> EC > AE (đpcm)`

`d)`

`\text{Ta có : BA = BD (gt) => ΔDBA cân tại B}`

`\text{ΔDBA cân tại B nên đường phân giác BE cũng là đường trung trực => BE là trung trực đoạn AD}`    

a. Áp dụng định lí py - ta - go vào tam giác ABC vuông tại A có:

$BC^{2}$ $=^{}$ $AC^{2}$ + $AB^{2}$

⇒ $AC^{2}$ $=^{}$ $BC^{2}$ $-^{}$ $AB^{2}$ 

Hay $AC^{2}$ $=^{}$ $5^{2}$ $-^{}$ $3^{2}$ 

⇒ $AC^{2}$ $=^{}$ $25 - 9^{}$ 

⇒ $AC^{2}$ $= 16^{}$ 

⇒ $AC = 4 ( cm)^{}$ 

b. Xét Δ$ABE^{}$ và Δ$DBE^{}$ có:

∠$BAE =^{}$ ∠$BDE^{}$ = $90^{0}$ 

$BA = BD (gt)^{}$

$BE ^{}$ là cạnh cung

Do đó: Δ$ABE^{}$ = Δ$DBE^{}$ ( ch - cgv )
⇒ ∠$ABE =^{}$ ∠$DBE^{}$ ( 2 góc tương ứng )

⇒ BE là tia p/g của ∠ABC

c. Ta có: BE là tia p/g của ∠ABC

⇒ $\frac{AE}{AB}$ = $\frac{EC}{BC}$ ⇒ $\frac{AE}{3}$ = $\frac{EC}{5}$ ⇒ $AE.^{}$ $\frac{5}{3}$ $= EC^{}$ 

⇒ $AE < EC^{}$ 

d. Gọi AD ∩ BE ≡ I

Xét ΔABI và ΔDBI có:
$AB= DB^{}$ 

∠ABI = ∠DBI ( BE phân giác )

BI chung

⇒ ΔABI = ΔDBI ( c - g - c ) ⇒ AI = ID (1) 

                                               ∠AIB = ∠BID

Mà ∠AIB + ∠BID  = $180^{0}$ ⇒ ∠AIB = ∠BID = $90^{0}$ ⇒ BE ⊥ AD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BE là trung trực của AD