Đáp án:

$m \geqslant -1 - 2\sqrt2$ 

Giải thích các bước giải:

$\quad 2(\sin x + \cos x) + \sin2x + m = 0\qquad (*)$

Đặt $t = \sin x + \cos x\quad \left(t \in \left[-\sqrt2;\sqrt2\right]\right)$

$\Rightarrow t^2 = 1 + \sin2x$

$\Rightarrow t^2 - 1 = \sin2x$

Phương trình trở thành:

$\quad 2t + t^2 - 1 + m =0\qquad (**)$

$(*)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow (**)$ có nghiệm thuộc $\left[-\sqrt2;\sqrt2\right]$

$+)$ Với $\Delta' = 0 \Leftrightarrow 1 - (m - 1) =0 \Leftrightarrow m = 2$

Khi đó $(**)$ có `1` nghiệm $t = -1 \in \left[-\sqrt2;\sqrt2\right]$

$+)$ Với $\Delta' \ne 0 \Leftrightarrow m\ne 2$

$\bullet\quad TH1:\ (**)$ có `2` nghiệm thuộc $\left[-\sqrt2;\sqrt2\right]$

$\Leftrightarrow -\sqrt2 \leqslant t_1 < t_2 \leqslant \sqrt2$

$\Leftrightarrow \begin{cases}1.f\left(-\sqrt2\right) \geqslant 0\\1.f\left(\sqrt2\right)\geqslant 0\\-\sqrt2 \leqslant \dfrac{S}{2}\leqslant \sqrt2\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m + 1 - 2\sqrt2 \geqslant 0\\m +1 + 2\sqrt2\geqslant 0\\-\sqrt2 \leqslant -1 \leqslant \sqrt2\end{cases}$

$\Leftrightarrow m \geqslant 2\sqrt2 - 1$

$\bullet\quad TH2:\ (**)$ có `1` nghiệm thuộc $\left[-\sqrt2;\sqrt2\right]$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-\sqrt2 \leqslant t_1 \leqslant \sqrt2 \leqslant t_2\\t_1 \leqslant -\sqrt2 \leqslant t_2 \leqslant \sqrt2\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow f\left(-\sqrt2\right).f\left(\sqrt2\right) \leqslant 0$

$\Leftrightarrow \left(m + 1 - 2\sqrt2\right)\left(m + 1 + 2\sqrt2\right)\leqslant 0$

$\Leftrightarrow - 1 - 2\sqrt2 \leqslant m \leqslant -1 + 2\sqrt2$

Vậy với $m \geqslant -1 - 2\sqrt2$ thì phương trình đã cho có nghiệm