Giải thích các bước giải:

a, Oz là phân giác của $\widehat{xOy}$

⇒ $\widehat{xOz}$ = $\widehat{zOy}$ hay $\widehat{COA}$ = $\widehat{COB}$ 

Xét 2 tam giác vuông ΔCOA và ΔCOB có:

OC chung; $\widehat{COA}$ = $\widehat{COB}$ 

⇒ ΔCOA = ΔCOB (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ CA = CB (đpcm)

b, Xét 2 tam giác vuông ΔCAD và ΔCBE có:

CA = CB; $\widehat{DCA}$ = $\widehat{ECB}$ (đối đỉnh)

⇒ ΔCAD = ΔCBE (cạnh góc vuông - góc nhọn)

⇒ CD = CE ⇒ ΔCDE cân tại C

c, ΔOAC vuông tại A, áp dụng Py-ta-go ta có:

$OA^2$ + $AC^2$ = $OC^2$

⇔ $12^2$ + $AC^2$ = $13^2$

⇔ $AC^2$ = 25 ⇒ AC = 5cm

d, ΔCAD = ΔCBE (cạnh góc vuông - góc nhọn) ⇒ AD = BE

ΔCOA = ΔCOB (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ OA = OB

Suy ra: OA + AD = OB + BE ⇒ OD = OE 

Xét ΔOID và ΔOIE có:

OD = OE; $\widehat{IOD}$ = $\widehat{IOE}$; OD chung

⇒ ΔOID = ΔOIE (c.g.c) ⇒ $\widehat{OID}$ = $\widehat{OIE}$

mà 2 góc này kề bù

⇒ $\widehat{OID}$ = $\widehat{OIE}$ = $90^o$

⇒ OI ⊥ DE hay OC ⊥ DE (đpmc)

e, ΔODE có OD = OE và $\widehat{DOE}$ = $60^o$

⇒ ΔODE đều ⇒ OD = DE = 18cm

ΔOID = ΔOIE ⇒ ID = IE = 9cm

ΔOID vuông tại I 

⇒ $OI^2$ + $ID^2$ = $OD^2$

⇔ $OI^2$ + $9^2$ = $18^2$

⇔ $OI^2$ = 243 ⇒ OI = 9$\sqrt[]{3}$ cm