a) Áp dụng định lý Py-ta-go về ba cạnh trong một tam giác vuông

`MP^2=MN^2+MP^2=4^2+3^2=25^2`

`=>MP=5cm`

 Vì tam giác vuông tại `A` nên $\widehat{A}=90^o$

`=> NP` là cạnh lớn nhất.

Ta có `MN=4cm => NP>MN,MP=3cm => PN<MN<MP`

Mặt khác ta có: `hat{PMN}>hat{MPN}>hat{PNM}`

b) Vì `PC bot AM => hat{CPA}=90^o`

Xét `Delta CPA` và `Delta CPM` có:

`hat{CPA}=hat{CPM}=90^o`

`PM=PA` (giả thiết)

`PC` chung

`=> Delta CPA = Delta CPM ` (Hai cạnh góc vuông)

c) Ta có `hat{CPM}+hat{PMN}=180^o`

Hai góc này là trong cùng phía bù nhau.

`=> ` $CP//NM$

`=>hat{PCA}=hat{MNC}` (Hai góc đồng vị)

`=>hat{PCM}=hat{CMN}` (Hai góc đồng vị)

Mà `hat{ACP}=hat{MCP}` (Theo câu b)

`=>Delta CMN` cân tại `C => CM=CN`

d) Do `GP` là đường trung tuyến hạ từ `G->P`

`GC` là đường trung tuyến hạ từ `G->C`

`=>` G là trọng tâm của `Delta MAN` .

`=>NG=2/3 NP = 5*2/3=10/3 cm`

e) Điểm `H in ` phân giác của `hat{ENK}=>HK=HE`

Gọi `NH∪EB∪KB≡{B} => BK=BD` (Do `B` thuộc phân giác `hat{ENK}`

Từ đây dễ chứng minh được: `NK=NE`

Xét `Delta BEN` và `Delta BKN` có:

`BN` chung 

`hat{KNH}=hat{ENH}` (giả thiết)

`hat{EBH}=hat{KBH}` (giả thiết)

`=>Delta BEN=Delta BKN (g.c.g)`

`=> NK=NE=>Delta NEK` cân tại `N`