Đáp án + Giải thích các bước giải:

a,

AB là trung trực của NP 

⇒ BA ⊥ NP và A là trung điểm của NP

Xét ΔNAC và ΔPAC có:
AN = NP 

AB chung

∠NAB = ∠BAP = $90^{0}$ 

⇒ ∠NAB = ∠PAB (c.g.c)

⇒ BN = BP

⇒ ∠BNP cân tai B

b,

ΔBNP cân tại B ⇒ ∠BNP = ∠BPN

Xét ΔMRN và ΔCBE có:

∠NMP = ∠PCB = $90^{0}$ 

BN = BP

∠NBM = ∠PBC  (đối đỉnh)

⇒ ΔMBN = ΔCBP (ch - gn)

c,

ΔMBN = ΔCBP ⇒ MB = BC

ΔNBP cân tại B có BA là đường cao 

⇒ BA là phân giác ∠NBP

⇒ ∠NBA = ∠PBA

Mà ∠NBM = ∠CBP  (đối đỉnh)

⇒ ∠NBA + ∠NBM = ∠PBA + ∠CBD

⇒ ∠MBA = ∠CBA

Xét ∠ABM và ΔABC có:
AB chung

MB = BC

∠ABM = ∠CBA (cmt)

⇒ ΔABM = ΔABC (c.g.c)
⇒ ∠MAB = ∠CAB

⇒ AB là phân giác ∠MAC

d,

ΔEBD cân tại B

Có BC là đường cao ( CP ⊥ NB )

⇒ BC là đường phân giác ∠EBP ( t/c tam giác cân )

⇒ ∠EBC = ∠CBP

Mà ∠EBC = ∠NBA ( $đ^{2}$ )

      ∠CBD = ∠MBN ( $đ^{2}$ )

Nên ∠MBN = ∠NBA 

Xét ΔNBM và ΔNAB có:

NB chung
∠NMB = ∠NAB = $90^{0}$ 

∠NBM = ∠NBA (cmt)
⇒ ΔNMB = ΔNAB (ch - gn)

⇒ ∠MAB = ∠BNA

Mà ∠BNA = ∠BPN (ΔNBP cân tại B)

Nên ∠MAB = ∠BNA = ∠BPN (1)
ΔMNP cân tại M ⇒ ∠MNP + ∠MPN = $90^{0}$ 

⇒ ∠MNB + ∠BNP + ∠MPN $90^{0}$  (2)
Từ (1) VÀ (2) ⇒ 3NPM = $90^{0}$ 

                         ∠MPN = $30^{0}$ 

Vậy ΔMPN cân tại M có ∠MPN = $30^{0}$ thì ΔBEP cân tại B

a,C/m ΔBNP cân và so sánh BM và BP

Vì BA là đường trung trực của NP⇒BA⊥NP

Vì trong ΔBNP có BA là đường cao đồng thời là trung tuyến ⇒ΔBNP cân tại B(Đpcm)

Trong Δvuông BMN có BM là cạnh góc vuông và BN là cạnh huyền ⇒BN>BM 

Mà theo C/mT thì ΔBNP cân tại B⇒BN=BP

⇒BP>BM

Vậy BP>BM

b,C/m ΔMBN=ΔCBP

Xét 2 Δvuông MBN và Δvuông CBP có

∠NMP=∠PCB(=90 độ)

∠MBN=∠CBP(2 góc đối đỉnh)

BN=BP(C/mT)

⇒Δvuông MBN=Δvuông CBP(cạnh huyền-góc nhọn)(Đpcm)

c,C/m AB là phân giác của ∠MAC

Vì trong Δcân BNP cân tại B thì đường trung tuyến đường thời là đường phân giác 

⇒BA là đường phân giác của ∠PBN

⇒∠PBA=∠NBA=1/2 ∠PBN

⇒∠PBA+∠CBP=∠NBA+∠MBN

⇒∠CBA=∠MBA

Mà theo C/mT thì Δvuông MBN=Δvuông CBP

⇒BM=CB(2 cạnh tương ứng)

Xét 2ΔBAC và ΔBAM

CB=BM(C/mT)

∠CBA=∠MBA(C/mT)

AB chung

⇒ΔBAC = ΔBAM(c-g-c)

⇒∠BAC=∠BAM(2 góc tương ứng)

⇒AB là tia phân giác của ∠MAC(Đpcm)

d,Tìm ĐK của ΔMNP để ΔEBP cân tại B

Để ΔEBP cân tại B

⇔BC là đường cao đồng thời là đường phân giác

⇔∠EBC=∠CBP

Mà ∠EBC=∠NBA(2 góc đối đỉnh)

      ∠CBP=∠MBN(2 góc đối đỉnh)

⇔∠MBN=∠NBA

Xét 2 Δvuông NBM và Δvuông NAB

∠NMB=∠NAB(=90 độ)

NB chung

∠MBN=∠NBA(C/mT)

⇒ΔNMB=ΔNAB(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒∠MNP=∠BNA(2 cạnh tương ứng)

Mà ∠BNA=∠BPN

⇒∠BNA=∠BPN=∠MNP

Ta có

∠MNB+∠MBN=90 độ

=∠MNB+∠BNP+∠NPM=90 độ

⇒3.∠NPM=90 độ

⇒∠NPM=30 độ

Vậy ΔEBP cân thì trong ΔMNP ∠NPM=30 độ