Đáp án:

`a,`

Có : `hat{HAB} + hat{HAC} = 90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A`)

Có : `hat{BCA} + hat{HAC} = 90^o` (Do `ΔAHC` vuông tại `H`)

`-> hat{HAB} = hat{BCA}`

$\\$

$\\$

$b,$

Có : `hat{BAD} + hat{DAC} = 90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A`)

mà `hat{DAC} = hat{HAD}` (Do `AD` là tia phân giác của `hat{HAC}`)

`-> hat{BAD} + hat{HAD} =90^o`

Có : `hat{BDA} + hat{HAD} = 90^o` (Do `ΔAHD` vuông tại `H`)

`-> hat{BAD} = hat{BDA}`

`-> ΔABD` cân tại `B`

$\\$

Vì `H` nằm giữa `B` và `D`

`-> BH + HD = BD`

`-> BD = 9 + 6 = 15cm`

mà `BD = AB` (Do `ΔABD` cân tại `B`)

`-> AB = 15cm`

Xét `ΔABH` vuông tại `H` có :

`AH^2 + BH^2 = AB^2` (Pitago)

`-> AH^2 = AB^2 - BH^2`

`-> AH^2 = 15^2 - 9^2`

`-> AH^2 = 12^2`

`-> AH = 12cm`

$\\$

$\\$

$c,$

Xét `ΔAHE` có :

`AD` là đường cao

`AD` là đường phân giác

`-> ΔAHE` cân tại `A`

Xét `ΔAHD` và `ΔAED` có :

`hat{HAD} = hat{DAE}` (giả thiết)

`AH = AE` (Do `ΔAHE` cân tại `A`)

`AD` chung

`-> ΔAHD = ΔAED` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{AHD} = hat{AED}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{AHD}=90^o`

`-> hat{AED}=90^o`

hay $DE⊥AC$

$\\$

$\\$

$d,$

Vì `ΔAHD = ΔAED` (chứng minh trên)

`-> HD = DE` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔDEC` vuông tại `E` có :

`DC` là cạnh lớn nhất

`-> DC > DE`

mà `HD = DE`

`-> HD < DC`

a) Ta có: `∠BAH + ∠CAH = 90^o`

              `∠CAH + ∠C = 90^o` (vì `ΔACH` vuông tại H)

`=> ∠BAH = ∠C`   (đpcm)

b) Ta có: `∠ADH + ∠DAH = 90^o` (vì `∠ADH` vuông tại H)

               `∠BAD + ∠CAD = 90^o`

               `∠CAD = ∠DAH` (vì AD là tia phân giác của `∠CAH`)

`=> ∠BAD = ∠ADH`

`=> ΔABD` cân tại B   (đpcm)

`=> AB = BD`

Lại có: `BD = BH + CH` (vì H là điểm nằm giữa 2 điểm B, D)

`= 9cm + 6cm = 15cm`

`=> AB = 15cm`

Xét `ΔABH` vuông tại H có: `AB^2 = BH^2 + AH^2` (định lí Pytago)

`=> AH^2 = AB^2 - BH^2 = 15^2 - 9^2 = 144`

`=> AH = \sqrt{144} = 12 (cm)`

Vậy `AH = 12cm`.

c) Xét `ΔAHE` có: Đường phân giác AD đồng thời là đường cao

`=> ΔAEH` cân tại A

`=> AH = AE`

Xét `ΔADH` và `ΔADE` có:

AE = AH (cmt)

`∠DAH = ∠DAE` (cmt)

AD cạnh chung

`=> ΔADH = ΔADE (c.g.c)`

`=> ∠AED = ∠AHD` (2 góc tương ứng)

Mà `∠AHD = 90^o => ∠AED = 90^o => DE ⊥ AC`   (đpcm)

d) Xét `ΔCDE` vuông tại E có: CD là cạnh huyền

`=> CD > DE`

Mà `DE = DH` (vì `ΔADH = ΔADE`)

`=> CD > DH`

Vậy `CD > DH`.