`\text{a)}`

Theo định lý Py-ta-go ta có :

`-> AB^2 + BC^2 = AC^2`

`-> 5^2 + 12^2 = AC²`

`-> AC =13 (cm)` 

`\text{b)}`  

 Xét `\Delta ABE` vuông tại `B` và `\Delta DBE` vuông tại `B` :

`AB = BD ( \text{gt} )`

`BE` _ cạnh chung

`-> \Delta ABE = \Delta DBE ( \text{ 2 cạnh góc vuông } )`

`\text{c)}`  

Xét `\Delta ACD` có :

`BC` là đường trung tuyến

`BE = 4cm`

`-> BE = 1/3BC`

`->  E` là trọng tâm của `\Delta ACD`

`-> AK` là đường trung tuyến của `\Delta ACD`

`-> K` là trung điểm của `DC`

`\text{d)}`   

Xét `\Delta ABE`  vuông tại `B` và `\Delta ABD` vuông tại `B` có :

`AB < AE` 

`BD < DE`

`-> AD < 2AE`

Theo tính chất đường trung tuyến :

`EK = 1/2AE` 

`-> 2EK = AE`

`-> 2EA = 4EK`

`-> AD < 4EK`

Đáp án:

 a, Áp dụng định lý Pytago vào ΔABC vuông tại B, ta được:

AB² + BC² = AC²

Hay 5² + 12² = 25 + 144 =169= AC²

⇒ AC = √169 = 13(cm)

b, Xét Δ ABE và Δ DBE có:

BD = BA ( gt)

`hat{ ABE}` = `hat{ DBE}` = 90°

BE : cạnh chung

⇒ ΔABE = Δ DBE ( c - g - c)

⇒ EA = ED ( 2 cạnh tương ứng)

⇒ ΔEAD cân tại E

c, Xét ΔACD có CB là đường trung tuyến và `BE = 1/3 CD`( Vì `4 = 1/3 12`)

⇒ E là trọng tâm của Δ ACD

⇒ AK là đường trung tuyến của ΔACD

⇒ K là trung điểm của CD

d, Ta có:

EA > AB ( quan hệ cạnh huyền với cạnh góc vuông)

ED > BD( quan hệ ạnh huyền với cạnh góc vuông)

Mà AD = AB + BD

EA = ED ( c/m câu b)

⇒ 2AE >AD

Mà EK = `1/2` EA(Vì  AK là đường trung tuyến và E là trọng tâm)

`⇒ 2AE = 2 . 2 . EK= 4EK`

Hay ` 4EK > 2AD` ( đpcm)