a)

xét  ΔABC cân

có ∠ABH=∠ACH

      AB=AC

xét Δ ABCvà Δ AHC

có AB=AC (cmt)

     ∠ABH=∠ACH (cmt)

     AH (chung)

⇒ Δ ABC = Δ AHC

b)

xét  Δ ABC có HD//AC mà AH là đường cao của Δ cân ABC nên H là trung điểm BC⇒D là trung điểm BA (tính chất đường trung bình) ⇒DA =DB

Vì HD//AC nên ∠ACB = ∠DHB 

  mà ∠ACB  = ∠ABC ⇒∠ABC= ∠DHB ⇒∠DBH=∠DHB

xét Δ BDH có ∠DBH=∠DHB (cmt)⇒ Δ BDH cân tại D⇒BD=DH

mà AD =DB (cmt)⇒ AD=DH 

c)

ta có D là trung điểm AB (cmt)

             H là trung điểm BC (cmt)

          có AH cách DC tại G ⇒G là trọng tâm

            mà E là trung điểm AC (gt)

⇒B,G,E thẳng hàng

`\text{a)}`

Xét `\Delta AHB` vuông tại `H`  và `\Delta AHC` vuông tại `H` có :

`AB = AC ( \text{gt} )`

`AH` _ cạnh chung

`=> \Delta AHB = \Delta AHC ( \text{ch - cgv} )`

`-> \hat{HAB} =\hat{HAC}` ( cạnh tương ứng )

`\text{b)}`

 Ta có :

`\Delta ABC` là `\Delta` cân

`=> \hat{A} = 180^o - 2\hat{B}`

`=> 1/2\hat{A} = 90^o - \hat{B}`

`=> \hat{HAB} = 90^o - \hat{ABC}`     

Vì `DH \text{//} AC`

`-> \hat{DHC} = \hat{C}` (`2` góc đồng vị )

`-> 90^o + \hat{DHA} = \hat{C}`

`-> \hat{DHA} = 90^o - \hat{ACB}`

Mà `\Delta ABC` là `\Delta` cân `-> \hat{ABC} = \hat{ACB}`

`=> \hat{HAB} = \hat{DHA}`

`=> \Delta ADH` là `\Delta` cân tại `D`

`-> AD = DH`

`\text{c)}`

$*$

Vì `E` là trung điểm của `AC`

`-> AE = EC`

Ta có : `BG ∩ AC = {E}`

`-> BE ` là đường trung tuyến tương ứng với cạnh `BC`

`-> BG = 2/3BE` 

`=> B ; G ; E` thẳng hàng

$*$          

Trên tia đối của `BE` lấy điểm `L` sao cho `BE = EF`

Vì `G` là trọng tâm của `\Delta ABC`

`=> BG = 2/3BE`

`-> 3BG = 2BE`

Ta có :

`2BE = BE + BE =   BE + EF = BF`

 Xét `\Delta AEF` và `\Delta BEC` có :

`AE = EC ( \text{gt})`

`\hat{AEF} = \hat{BEC}`

`BE = EF (cmt)`

`=> \Delta AEF = \Delta CEB ( c .  g .c )` 

`-> AF = BC` ( cạnh tương ứng )

Xét `\Delta ABH` vuông tại `H` có :

`AB > AH` ( cạnh huyền là lớn nhất )

`-> AH + 3BG = AH + 2BE < BF + AB` `(1)`

Áp dụng BĐT `\Delta` :

`BA + AF > BF`

Ta có :

`P_{ \Delta ABC} = AB + AC + BC = (AB + BC) + AC = (BA + AF)  + CA > BF + CA = BF + AB` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=>AB + AC + BC > AH + 3BG`