a) Xét `\Delta AHM` và `ΔBMN` có:

AM = MN (gt)

`hat{AMH} = hat{BMN}` (2 góc đối đỉnh)

BM = HM (vì M là trung điểm của BH)

`=> ΔAHM = ΔNBM (c.g.c)`

`=> hat{AHM} = hat{MBN}` (2 góc tương ứng)

`=> hat{MBN} = 90^o`

`=> NB ⊥ BC`

b) Ta có: H là hình chiếu của A hạ từ A xuống đoạn thẳng BC

               AB là đường xiên

`=> AB > AH`

Mà AH = BN (vì `ΔAHM = ΔNBM`)

`=> AB > BN` (định lí)

c) Xét `ΔABN` có: AB > BN

`=> hat{ANB} > hat{BAN}` (định lí)

Mà `hat{ANB} = hat{HAM}` (vì `ΔAHM = ΔNBM`)

`=> hat{HAM} > hat{BAN}`   (đpcm)

d) Xét `ΔABC` cân tại A có: AH là đường cao

`=>` Đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến

`=> BH = CH`

Vì `HM = 1/2BH` nên `HM = 1/2CH`

Xét `ΔACN` có: CM là đường trung tuyến và `HM = 1/2CH`

`=> H` là trọng tâm của `ΔACN`

Lại có: I là trung điểm của CN

`=>` Đường thẳng AI đi qua trọng tâm H của `ΔACN`

`=> 3` điểm A, H, I thẳng hàng   (đpcm) 

Đáp án :

`a,`

Xét `ΔAMH` và `ΔNMB` có :

`hat{AMH} = hat{NMB}` (2 góc đối đỉnh)

`MN = MA` (giả thiết)

`BM = HM` (Do `M` là trung điểm của `BH`)

`-> ΔAMH = ΔNMB` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

Do `ΔAMH = ΔNMB` (chứng minh trên)

`-> hat{AHM} = hat{NBM}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{AHM} = 90^o` (Do `AH` là đường cao)

`-> hat{NBM} = 90^o`

`-> NB⊥BC`

$\\$

$\\$

$b,$

Do `ΔAMH = ΔNMB` (chứng minh trên)

`-> AH = NB` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

Xét `ΔABH` vuông tại `H` có :

`AB` là cạnh lớn nhất nhất

`-> AB > AH`

mà `AH = NB` (chứng minh trên)

`-> NB < AB`

$\\$

$\\$

$c,$

Xét `ΔABN` có :

`NB < AB`

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`hat{BAM} < hat{BNM}`

mà `hat{MAH} = hat{BNM}` (Do `ΔAMH = ΔNMB`)

`-> hat{BAM} < hat{MAH}`

$\\$

$\\$

$d,$

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`AH` là đường cao

`-> AH` là đường trung tuyến

`-> H` là trung điểm của `BC`

`-> BH = HC`

mà `MH = 1/2 BH`

`-> BH = 2MH`

`-> 2MH = HC`

`-> MH = 1/2HC`

Xét `ΔANC` có :

`CM` là đường trung tuyến (Do `AM= MN`)

`MH = 1/2 HC`

`-> H` là trọng tâm của `ΔANC`

mà `AI` là đường trung tuyến (Do `I` là trung điểm của `NC`)

`-> AI` đi qua `H`

`-> A,H,I` thẳng hàng