Lời giải:

Từ $A$ kẻ phân giác $AD$ của $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow AD$ cố định

$\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\dfrac12\widehat{BAC}$

Gọi $O$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow O$ cố định

Gọi $N$ là trung điểm $EC$

$P, Q$ lần lượt là giao điểm của $OM$ với $AC,AB$

Xét $\triangle EBC$ có:

$\begin{cases}OB = OC =\dfrac12BC\\NE = NC =\dfrac12EC\end{cases}$ (cách dựng)

$\Rightarrow ON$ là đường trung bình

$\Rightarrow \begin{cases}ON//EB\\ON =\dfrac12EB\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}ON//AB\\ON =\dfrac12CF\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{NOM}=\widehat{AQP}\ \ (1)$ (so le trong)

Tương tự, ta được:

$MN$ là đường trung bình của $\triangle EFC$

$\Rightarrow \begin{cases}MN//CF\\MN =\dfrac12CF\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{NMO}=\widehat{CPO}\ \ (2)\ \ \text{(đồng vị)}\\MN = NO =\dfrac12CF\end{cases}$

$\Rightarrow \triangle MNO$ cân tại $N$

$\Rightarrow \widehat{NMO}=\widehat{NOM}\quad (3)$

Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{AQP}=\widehat{CPQ}$

mà $\widehat{CPO}=\widehat{APQ}$ (đối đỉnh)

nên $\widehat{AQP}=\widehat{APQ}$

$\Rightarrow \triangle APQ$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{APQ}=\dfrac12\widehat{BAC}$ ($\widehat{BAC}$ góc ngoài của $\triangle APQ$)

Mặt khác: $\widehat{CAD}=\dfrac12\widehat{BAC}$ (cách dựng)

Do đó: $\widehat{APQ}=\widehat{CAD}$

$\Rightarrow AD//OP$

do $AD$ cố định và $O$ cố định

nên $OP$ cố định

$\Rightarrow M\in OP$ cố định

Vậy khi $E,F$ di động, $M$ nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm $O$ của $BC$ và song song phân giác $AD$. Đó là đường thẳng cố định