Đáp án:

`a,`

Xét `ΔABK` và `ΔIBK` có :

`hat{BAK} = hat{BIK}=  90^o`

`hat{ABK} = hat{IBK}` (giả thiết)

`BK` chung

`-> ΔABK = ΔIBK` (cạnh huyền - góc nhọn)

$\\$

$\\$

$b,$

Vì `ΔABK = ΔIBK` (chứng minh trên)

`-> AB = IB` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔABI` cân tại `B`

`-> hat{BAI} = hat{BIA}`

$\\$

Ta có : `hat{HAI} + hat{BIA} = 90^o` (Cùng phụ `hat{AHI}`)

Ta có : `hat{CAI} + hat{BAI} = 90^o` (Vì `ΔABC` vuông tại `A`)

mà `hat{BIA} = hat{BAI}`

`-> hat{HAI} = hat{CAI}`

hay `AI` là tia phân giác của `hat{HAC}`

$\\$

$\\$

$c,$

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}KI⊥BC\\AH⊥BC\end{array} \right.\)

$→ KI//AH$
`-> hat{AFK} = hat{BKI}` (2 góc so le trong)

mà `hat{AKF} = hat{BKI}` (Vì `ΔABK = ΔIBK`)

`-> hat{AFK} = hat{AKF} (= hat{BKI})`

`-> ΔAFK` cân tại `A`

$\\$

Xét `ΔKIC` vuông tại `I` có :

`KC` là cạnh lớn nhất

`-> KC > KI`

mà `KI = AK` (Vì `ΔABK = ΔIBK`)

`-> AK < KC`

mà `AF = AK` (Vì `ΔAFK` cân tại `A`)

`-> AF < KC`

$\\$

$\\$

$d,$

Xét `ΔMAI` và `ΔCAI` có :

`hat{MAI} = hat{CAI}` (Vì `AI` là tia phân giác của `hat{MAC}`)

`AM = AC` (giả thiết)

`AI` chung

`-> ΔMAI = ΔCAI` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{FMI} = hat{KCI}` (2 góc tương ứng)

và `MI = CI` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}FM = AM - AF\\KC = AC - AK\end{array} \right.\)

mà `AF = AK, AM = AC`

`-> FM = KC`

$\\$

Xét `ΔFIM` và `ΔKIC` có :

`hat{FMI} = hat{KCI}` (chứng minh trên)

`MI = CI` (chứng minh trên)

`FM = KC` (chứng minh trên)

`-> ΔFIM = ΔKIC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{MIF} = hat{CIK}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{CIK} = 90^o`

`-> hat{MIF} = 90^o`

hay`IM⊥IF`

a)Xét ΔABK và ΔIBK có:

+)∠BAK=∠BIK (=90)

+)BK chung

+)∠ABK=∠INK (gt)

Do đó ΔABK=ΔIBK (ch-gn)

b)Vì ΔABK=ΔIBK (cmt)

⇒AB=BI (2 cạnh tương ứng)

⇔ΔABI cân tại B

⇒∠BAI=∠BIA

Xét ΔAHI có:

∠HAI=90-∠HIA

Xét ΔABC có:

∠IAC=90-∠BAI

Mà ∠HIA=∠BAI (cmt)

⇒∠HAI=∠CAI 

Hay Ai là tia phân giác của ∠HAC

c)Gọi giao điểm của AI và BK là O

Xét ΔABO và ΔIBO có:

+)AB=BI (cmt)

+)∠ABK=∠IBK (gt)

+)OI chung

Do đó ΔABO=ΔIBO (cgc)

⇒∠BOA=∠BOI ( 2 góc tương ứng)

Mà ∠BOA+∠BOI=180 độ (2 góc kề bù)

⇒∠BOA=∠BOI=90 độ

Xét ΔAFO và ΔAKO có:

+)∠FAO=∠KAO (cmt)

+)AO chung

+)∠AOF=∠AOK (=90 độ)

Do đó ΔAFO=ΔAKO (gcg)

⇒AF=AK (2 cạnh tương ứng)

Hay ΔAFK cân tại A

Vì ΔABK=ΔIBK (cmt)

⇒AK=KI (2 cạnh tương ứng)

⇒AF=KC

Xét ΔKIC có

∠KIC=90 độ

⇒KC>KI

⇔KC>AF

d)Xét ΔAMI và ΔACI có:

+)AM=AC (gt)

+)∠MAI=∠CAI (cmt)

+)AI chung

Do đó ΔAMI=ΔACI (cgc)

⇒KI=MI (2 cạnh tương ứng)

⇒∠ACI=∠AMI (2 góc tương ứng)

Xét ΔCKI và ΔMFI có:

+)KC=MF (=AC-AK)

+)∠FMI=∠KCI (cmt)

+)MI=CI (cmt)

Do đó ΔCKI=ΔMFI (cgc)

⇒∠MIF=∠CIK (2 góc tương ứng)

Mà ∠CIK=90 độ

⇒∠MIF=90 độ

Hay IM⊥IF

            CHÚC BẠN HỌC TỐT!!!

CHO MÌNH XIN 5 SAO+CÂU TRẢ LỜI HAY NHẤT NHA.CẢM ƠN!!!!!!!