Đáp án:

`a,`

$\bullet$ Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔABC` có :

`hat{BAC} + hat{ABC} + hat{ACB} = 180^o`

`-> hat{ACB}  = 180^o - 90^o - 55^o`

`-> hat{ACB} = 35^o`

$\\$

$\\$

$b,$

$\bullet$ Xét `ΔBAI` và `ΔBIM` có :

`hat{BAI} = hat{BMI} = 90^o`

`BI` chung

`AB = BM` (giả thiết)

`-> ΔBAI = ΔBIM` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\\$

$\\$

$c,$

$\bullet$ Vì `ΔBAI = ΔBIM` (chứng minh trên)

`-> AI = MI` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\bullet$ Xét `ΔAIK` và `ΔMIC` có :

`hat{AIK} = hat{MIC}` (2 góc đối đỉnh)

`hat{KAI} = hat{CMI} = 90^o`

`AI = MI` (chứng minh trên)

`-> ΔAIK = ΔMIC` (góc - cạnh - góc)

`-> IK = IC` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

$d,$

$\bullet$ Xét `ΔABI` vuông tại `A` có :

`hat{ABI} + hat{AIB} = 90^o`

`-> hat{AIB} < 90^o`

$\bullet$ Ta có : `hat{AIB} + hat{BIC} = 180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{AIB} < 90^o`

`-> hat{BIC} > 90^o`

`-> hat{BIC}` là góc tù

$\bullet$ Xét `ΔBIC` có :

`hat{BIC}` là góc tù

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`BC` là cạnh lớn nhất

`-> BI < BC` `(1)`

$\\$

$\bullet$ Xét `ΔAIK` vuông tại `A` có :

`hat{AIK} + hat{AKI} = 90^o`

`-> hat{AIK} < 90^o`

$\bullet$ Ta có : `hat{AIK} + hat{KIC} = 180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{AIK} < 90^o`

`-> hat{KIC} > 90^o`

`-> hat{KIC}` là góc tù

$\bullet$ Xét `ΔKIC` có :

`hat{KIC}` là góc tù

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`KC` là cạnh lớn nhất

`-> IK < KC` `(2)`

$\\$

$\bullet$ Đem `(1) + (2)` vế với vế ta được :

`BI + IK < BC + KC`