a, ΔABC vuông tại A (gt) ⇒ $\widehat{BAC}=90°$ Hay $\widehat{BAM}=90°$

Xét đường tròn đường kính MC có:

+D thuộc đường tròn đường kính MC

⇒ $\widehat{MDC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hay $\widehat{BDC}=90°$

+ E thuộc đường tròn đường kính MC

⇒ $\widehat{CEM}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ ME ⊥ BC ⇒ $\widehat{BEM}=90°$

Xét tứ giác ABCD có: $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90°$

Hai đỉnh A và D cùng nhìn BC dưới một góc vuông

⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BC

Xét tứ giác ABEM có: $\widehat{BAM}+\widehat{BEM}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác ABEM nội tiếp đường tròn đường kính MB

b, Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BC (cmt)

⇒ $\widehat{DAC}=\widehat{DBC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{DC}$)

Hay $\widehat{DAC}=\widehat{MBE}$

Tứ giác ABEM nội tiếp đường tròn đường kính MB (cmt)

⇒ $\widehat{MAE}=\widehat{MBE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{DC}$)

Mà $\widehat{DAC}=\widehat{MBE}$ (cmt)

⇒ $\widehat{DAC}=\widehat{MAE}$ Hay $\widehat{DAC}=\widehat{CAE}$

⇒ AC là phân giác $\widehat{DAE}$

c, Gọi H là giao điểm của AB và CD

Có $\widehat{BAC}=90°$ (cmt) ⇒ AC ⊥ BH

Có $\widehat{BDC}=90°$ (cmt) ⇒ BD ⊥ CH

Xét ΔHBC có:

AC là đường cao của ΔBCH (AC ⊥ BH)

BD là đường cao của ΔBCH (BD ⊥ CH)

AC cắt BD tại M

⇒ M là trực tâm của ΔHBC

⇒ HM ⊥ BC

Mà ME ⊥ BC (cmt)

⇒ HM ≡ HE

⇒ Ba điểm H, M, E thẳng hàng

⇒ ME đi qua H

⇒ AB, ME, CD đồng quy tại H