`@` Vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A ($ $\triangle$ $ABC$ đều $)$

Mà $AM$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ $( gt )$

`=> AM` đồng thời là đường cao của $\triangle$ $ABC ($ tính chất $\triangle$ cân $)$ 

`=> AM` $\bot$ $BC$ 

`@` Vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $B ($ $\triangle$ $ABC$ đều $)$

Mà $BK$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ $( gt )$

`=> BK` đồng thời là đường cao của $\triangle$ $ABC ($ tính chất $\triangle$ cân $)$ 

`=> BK` $\bot$ $AC$

`@` Vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $C ($ $\triangle$ $ABC$ đều $)$

Mà $CL$ là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ $( gt )$

`=> CL` đồng thời là đường cao của $\triangle$ $ABC ($ tính chất $\triangle$ cân $)$ 

`=> CL` $\bot$ $AB$ 

`@` Xét $\triangle$ $KCN$ và $\triangle$ $MCN$ ta có $:$

$\widehat{K1}$ $=$ $\widehat{M1}$ $= 90^o ($ vì `BK` $\bot$ $AC ; AM$ $\bot$ $BC )$

$NC$ chung

$\widehat{C1}$ $=$ $\widehat{C2}$ $($ vì $CL$ là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ $)$

`=>` $\triangle$ $KCN$ $=$ $\triangle$ $MCN ( ch - gn )$

`=> NM = MK ( 2` cạnh tương ứng $) (1)$

`@` Xét $\triangle$ $LNB$ và $\triangle$ $MNB$ ta có $:$

$\widehat{L1}$ $=$ $\widehat{M2}$ $= 90^o ($ vì `CL` $\bot$ $AB ; AM$ $\bot$ $BC )$

$NB$ chung

$\widehat{B1}$ $=$ $\widehat{B2}$ $($ vì $BK$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ $)$

`=>` $\triangle$ $LNB$ $=$ $\triangle$ $MNB ( ch - gn )$

`=> MN = NL ( 2` cạnh tương ứng $) (2)$

Từ `(1) ; (2) => NM = NK = NL`  

Các đường phân giác ứng với mỗi cạnh đòng thời là đường cao, đường trung tuyến ứng, đường trung trực ứng với mỗi cạnh ấy

Gọi độ dài của $3$ cạnh là $a$ , Ta tính được  :

$BM=MC=AK=CK=AL=BL=\dfrac{a}{2}$ 

(đường trung tuyến)

Suy ra : $\begin{cases}AM = \sqrt[]{a^2 - (\dfrac{a}{2})^2 }  \\ BK = \sqrt[]{a^2 - (\dfrac{a}{2})^2 } \\ CL = \sqrt[]{a^2 - (\dfrac{a}{2})^2$ } \end{cases}$

(đường cao)

$⇒$ $AM=BK=CL$

Gọi $AM=BK=CL=b$

Vì chúng đồng thời là các "đường trung tuyến" giao nhau $N$ , tính được :

$\begin{cases} NM = \dfrac{b}{3}\\ NK=\dfrac{b}{3}\\ NL = \dfrac{b}{3} \end{cases}$

$⇒$ $NM=NK=NL$.