Gọi `3` số nguyên đó là `a-1;a;a+1`    `(a in ZZ)`

Xét tổng:

`a^2+(a+1)^2+(a-1)^2`

`=a^2+a^2+2a+1+a^2-2a+1`

`=3a^2+2 \equiv 2 (mod3)`

`=>` Vô lí

Vì một số chính phương khi chia cho `3` chỉ có thể dư `0` hoặc `1`

( `x^2 \equiv 0;1 (mod3)`  )

Vậy tổng các bình phương của `3` số nguyên liên tiếp không là số chính phương

 `#Th`

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp đó là $a$ $-$ $1$; $a$; $a$ $+$ $1$ $(a$ $∈$ $Z)$

Ta có: $(a-1)^2$ $+$ $a^2$ $+$ $(a+1)^2$

= ($a^2$ $-$ $2a$ $+$ $1$) + $a^2$ + ($a^2$ $+$ $2a$ $+$ $1$)

= $a^2$ $-$ $2a$ $+$ $1$ + $a^2$ + $a^2$ $+$ $2a$ $+$ $1$

= $3a^2$ $+$ $2$

Mọi số chính phương đều chia 3 dư 0 hoặc 1

Ta có : $3a^2$ chia hết cho 3 và $2$ chia 3 dư 2

⇒ $3a^2$ $+$ $2$ chia 3 dư 2

Do đó $3a^2$ $+$ $2$ không là số chính phương

Hay $(a-1)^2$ $+$ $a^2$ $+$ $(a+1)^2$ không là số chính phương

Vậy ta có điều phải chứng minh