Giải thích các bước giải:

a.Vì $\Delta ABC$ đều, $O$ là trọng tâm
$\to O$ đồng thời là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp

$\to MP\perp AB$

Mà $OC\perp AB\to OC//MP\to OK//MI$

Tương tự : $OI//MK$

$\to MIOK$ là hình bình hành

Mà $OM\cap IK=S$ 

$\to S$ là trung điểm $MO, IK$

b.Ta có: $O$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC\to O$ là giao ba đường phân giác

$\to \widehat{IBM}=\widehat{OBC}=\dfrac12\hat B=30^o=90^o-\hat B=\widehat{PMB}=\widehat{IMB}$

$\to \Delta IBM$ cân tại $I$

Tương tự $\Delta KCM$ cân tại $K$

c.Xét $\Delta BPI,\Delta CQK$ có:

$\widehat{BPI}=\widehat{CQK}(=90^o)$
$\widehat{PIB}=\widehat{OIM}=\widehat{OKM}=\widehat{QKC}$

$\to \Delta BIP\sim\Delta CKQ(g.g)$

d.Từ câu c 

$\to \dfrac{BI}{CK}=\dfrac{IP}{KQ}$

Mà $\Delta IBM,\Delta KCM$ cân tại $I, K\to IB=IM, KC=KM$

$\to \dfrac{IM}{KM}=\dfrac{IP}{KQ}$

$\to \dfrac{IM}{IP}=\dfrac{KM}{KQ}$

$\to IK//PQ$