$\text{a, PQ⊥AC (gt) ⇒ $\widehat{ACP}=\widehat{ACQ}=90°$ Hay $\widehat{BCQ}=90°$}$

$\text{Xét (O), đường kính AB có: F ∈ (O) (EF là dây của (O))}$

$\text{⇒ $\widehat{AFB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nủa đường tròn)}$

$\text{⇒ $\widehat{AFE}+\widehat{EFB}=90°$}$

$\text{Xét ΔAPC vuông tại C ($\widehat{ACP}=90°$) có:}$

$\text{$\widehat{APC}+\widehat{PAC}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)}$

$\text{Hay $\widehat{APQ}+\widehat{EAB}=90°$ }$

$\text{Xét (O) có:}$

$\text{$\widehat{EFB}=\frac{1}{2}sđ\overparen{EB}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{EB}$)}$

$\text{$\widehat{EAB}=\frac{1}{2}sđ\overparen{EB}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{EB}$)}$

$\text{⇒ $\widehat{EFB}=\widehat{EAB}$}$

$\text{Mà $\widehat{AFE}+\widehat{EFB}=90°$ (cmt)}$

$\text{$\widehat{APQ}+\widehat{EAB}=90°$  (cmt)}$

$\text{⇒ $\widehat{AFE}=\widehat{APQ}$}$

$\text{Xét tứ giác PEFQ có: $\widehat{AFE}=\widehat{APQ}$ (cmt)}$

$\text{Mà $\widehat{AFE}$ là góc ngoài tại đỉnh F, $\widehat{APQ}$ là góc trong tại đỉnh P, P và F là 2 đỉnh đối nhau}$

$\text{⇒ Tứ giác PEFQ là tứ giác nội tiếp }$

$\text{b, Xét đường tròn ngoại tiếp ΔAPQ có:}$

$\text{$\widehat{APQ}=\frac{1}{2}sđ\overparen{AQ}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{AQ}$)}$

$\text{$\widehat{AMQ}=\frac{1}{2}sđ\overparen{AQ}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{AQ}$)}$

$\text{⇒ $\widehat{APQ}=\widehat{AMQ}$}$

$\text{Mà $\widehat{AFE}=\widehat{APQ}$ (cmt)}$

$\text{⇒ $\widehat{AFE}=\widehat{AMQ}$ Hay $\widehat{AFI}=\widehat{AMQ}$}$

$\text{Xét ΔAIF và ΔAQM có:}$

$\text{$\widehat{AFI}=\widehat{AMQ}$ (cmt)}$

$\text{$\widehat{MAQ}$: góc chung}$

$\text{⇒ ΔAIF~ΔAQM (g.g)}$

$\text{c, Có: $\widehat{AFB}=90°$ (cmt)}$

$\text{⇒ BF⊥AF ⇒ BF⊥AQ ⇒ $\widehat{BFQ}=90°$}$

$\text{Xét tứ giác BCFQ có: $\widehat{BFQ}+\widehat{BCQ}=90°+90°=180°$}$

$\text{Mà hai góc này ở vị trí đối nhau}$

$\text{⇒ BCFQ là tứ giác nội tiếp}$

$\text{⇒ $\widehat{ABF}=\widehat{AQC}$ (góc ở ngoài và góc ở trong tại 2 đỉnh đối nhau)}$

$\text{Xét ΔABF và ΔAQC có:}$

$\text{$\widehat{ABF}=\widehat{AQC}$ (cmt)}$

$\text{$\widehat{CAQ}$: góc chung}$

$\text{⇒ ΔABF~ΔAQC (g.g)}$

$\text{⇒ $\frac{AB}{AQ}=\frac{AF}{AC}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)}$

$\text{⇒ AB.AC=AF.AQ (1)}$

$\text{ΔAIF~ΔAQM (cmt)}$

$\text{⇒ $\frac{AI}{AQ}=\frac{AF}{AM}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)}$

$\text{⇒ AI.AM=AF.AQ (2)}$

$\text{Từ (1) và (2) ⇒AI.AM=AB.AC}$