Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to AEHF$ nội tiếp

$\to \widehat{FHE}+\widehat{FAE}=180^o$

Mà $H, M$ đối xứng qua $BC$

$\to \widehat{BMC}=\widehat{BHC}=\widehat{FHE}$

$\to \widehat{BMC}+\widehat{FAE}=180^o$

$\to \widehat{BMC}+\widehat{BAC}=180^o$

$\to ABMC$ nội tiếp

b.Gọi $G$ là trung điểm $HC$

Vì $\Delta EHC$ vuông tại $E\to (G,GE)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta EHC$

Ta có $\Delta AEB$ vuông tại $E, Q$ là trung điểm $AB$

$\to QE=QA=QB$

$\to \widehat{QEB}=\widehat{QBE}=\widehat{ABE}=90^o-\widehat{BAE}=90^o-\widehat{FAC}=\widehat{ACF}=\widehat{ECG}=\widehat{GEC}$

$\to \widehat{QEG}=\widehat{QEB}+\widehat{BEG}=\widehat{GEC}+\widehat{BEG}=90^o$

$\to QE\perp EQ$

$\to EQ$ là tiếp tuyến của $(EHC)$

c.Trên tia đối của tia $QH$ lấy $K$ sao cho $Q$ là trung điểm $KH$

Mà $Q$ là trung điểm $AB$

$\to AKBH$ là hình bình hành

$\to KA//BH, KB//AH\to KA\perp AC, KB\perp BC$

$\to AKBC$ nội tiếp đường tròn đường kính $CK$

$\to K\in(ABC)\to K\in(O)$

Mà $\widehat{KAC}=90^o\to KC$ là đường kính của $(O)$

$\to O$ là trung điểm $CK$

Mà $Q$ là trung điểm $HK$

$\to OQ$ là đường trung bình $\Delta KHC$

$\to QO=\dfrac12CH$

d.Ta có $\widehat{APH}=\widehat{APC}=\widehat{ABC}=\widehat{ABD}=90^o-\widehat{BAD}=90^o-\widehat{FAH}=\widehat{AHF}=\widehat{AHP}$

$\to\Delta APH$ cân tại $A$

$\to P, H$ đối xứng qua $AB$
Tương tự $H, N$ đối xứng qua $AC$

Ta có:

$S=\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CP}{CF}$

$\to S=\dfrac{AD+DM}{AD}+\dfrac{BE+EN}{BE}+\dfrac{CF+FP}{CF}$

$\to S=1+\dfrac{DM}{AD}+1+\dfrac{EN}{BE}+1+\dfrac{FP}{CF}$

$\to S=3+\dfrac{DM}{DA}+\dfrac{EN}{EB}+\dfrac{FP}{FC}$

$\to S=3+\dfrac{DH}{DA}+\dfrac{EH}{EB}+\dfrac{FH}{FC}$

$\to S=3+\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{HAC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}$

$\to S=3+\dfrac{S_{HCB}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}$

$\to S=3+1$

$\to S=4$