Đáp án :

Phương trình vô nghiệm

Giải thích các bước giải :

`3x+1/x=9x^2+1/x^2  (x ne 0)`
`<=>9x^2+1/x^2-3x-1/x=0`
`<=>(9x^2+6+1/x^2)-(3x+1/x)-6=0`
`<=>(3x+1/x)^2-(3x+1/x)-6=0`
Đặt `3x+1/x=a,` thay lại phương trình, ta được :
`a^2-a-6=0`
`<=>(a^2-3a)+(2a-6)=0`
`<=>a(a-3)+2(a-3)=0`
`<=>(a-3)(a+2)=0`
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}a-3=0\\a+2=0\end{array} \right.\)
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}a=3\\a=-2\end{array} \right.\)
`+)`Với `a=3`
`=>3x+1/x=3`
`<=>(3x^2)/x-(3x)/x+1/x=0`
`<=>(3x^2-3x+1)/x=0`
`<=>3x^2-3x+1=0`
`<=>3(x^2-x+1/3)=0`
`<=>x^2-x+1/3=0`
`<=>x^2-2.x.(1)/2+(1/2)^2-3/(12)+4/(12)=0`
`<=>(x-1/2)^2+1/(12)=0`
Vì `(x-1/2)^2>=0=>(x-1/2)^2+1/(12)>=1/(12)=>(x-1/2)^2+1/(12)>0(Vì  1/(12)>0)=>(x-1/2)^2+1/(12)ne0`
`=>`Vô nghiệm
`+)`Với `a=-2`
`=>3x+1/x=-2`
`<=>(3x^2)/x+(2x)/x+1/x=0`
`<=>(3x^2+2x+1)/x=0`
`<=>3x^2+2x+1=0`
`<=>3(x^2+(2x)/3+1/3)=0`
`<=>x^2+(2x)/3+1/3=0`
`<=>x^2+2.x.(1/3)^2-1/9+2/9=0`
`<=>(x+1/3)^2+1/9=0`
Vì `(x+1/3)^2>=0=>(x+1/3)^2+1/9>=1/9=>(x+1/3)^2+1/9>0(Vì  1/9>0)=>(x+1/3)^2+1/9ne0`
`=>`Vô nghiệm
Vậy : Phương trình vô nghiệm

Đặt $3x+ \dfrac{1}{x} = a \to a^2 = (3x + \dfrac{1}{x})^2 = 9x^2 + 6 + \dfrac{1}{x^2}$

$\to 9x^2 + \dfrac{1}{x^2} = a^2 - 6$

Từ phương trình $ 3x+ \dfrac{1}{x}  = 9x^2 + \dfrac{1}{x^2}$

$\to a = a^2 - 6 \to a^2 - a -6  = 0$

$\to (a+2)(a-3) = 0$

$\to$ \(\left[ \begin{array}{l}a+2=0\\a-3=0\end{array} \right.\) $\to$ \(\left[ \begin{array}{l}a=-2\\a=3\end{array} \right.\)

Với $a =-2$

$\to 3x + \dfrac{1}{x} = -2$

$ \to \dfrac{3x^2+1}{x} = -2$

$\to 3x^2 +1 = -2x \to 3x^2 + 2x +1 = 0$

$\to 3(x^2 + 2.x. \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9}) - 3. \dfrac{1}{9} + 1 = 0$

$\to 3(x + \dfrac{1}{3})^2 + \dfrac{3}{9} = 0$

Ta có $ (x + \dfrac{1}{3})^2 \ge 0 \to 3(x + \dfrac{1}{3})^2 + \dfrac{3}{9} > 0$

$\to$ Không có $x$ thỏa mãn

Với $ a= 3$

$\to 3x + \dfrac{1}{x} = 3$

$\to \dfrac{3x^2+1}{x} = 3$

$\to 3x^2 + 1 = 3x \to 3x^2 -3x +1 = 0$

$ \to 3(x^2 - x) +1 = 0 \to 3(x^2-x \dfrac{1}{4}) - \dfrac{3}{4} +1 = 0$

$\to 3(x - \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{1}{4} = 0$

Ta có $ 3(x - \dfrac{1}{2})^2 \ge 0 \to 3(x - \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{1}{4} > 0$

$\to$ Không có $x$ thỏa mãn

Vậy Phương trình vô nghiệm

***

Một cách khác đẹp hơn : Sau khi tìm được \(\left[ \begin{array}{l}a=-2\\a=3\end{array} \right.\)

Xét biểu thức $ a= 3x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{3x^2+1}{x}$

Ta có $ 9x^2 + \dfrac{1}{x^2} > 0$ nên $ \dfrac{3x^2+1}{x} > 0 \to x > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$ a = 3x + \dfrac{1}{x} \ge 2 \sqrt{3x . \dfrac{1}{x}} = 2 \sqrt{3}$

Do đó $ a = -2$ hoặc $a=3$ không thỏa mãn

Vậy PT đã cho vô nghiệm