`a)` Xét $\triangle$ $ABK$ và $\triangle$ $HBK$ ta có $:$ 

$\widehat{BAK}$ $=$ $\widehat{BHK}$ $= 90^o ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A ; KH$ $\bot$ $BC )$ 

$BK$ chung

$\widehat{ABK}$ $=$ $\widehat{HBK}$ $($ vì $BK$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ $)$

`=>` $\triangle$ $ABK$ $=$ $\triangle$ $HBK ( ch - gn )$

`b)` Xét $\triangle$ $AKQ$ và $\triangle$ $HKC$ ta có $:$

$\widehat{QAK}$ $=$ $\widehat{CHK}$ $= 90^o ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A ; KH$ $\bot$ $BC )$ 
$AK = AH ($ vì $\triangle$ $ABK$ $=$ $\triangle$ $HBK )$

$\widehat{AKQ}$ $=$ $\widehat{HKC}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

`=>` $\triangle$ $AKQ$ $=$ $\triangle$ $HKC ( cgv - gnk )$
`=> QK = KC ( 2` cạnh tương ứng $)$

`c)` Xét $\triangle$ $KHC$ vuông tại $H ( KH$ $\bot$ $BC )$ ta có $:$

$KC > KH ( ch > cgv )$

`=> 2KC > KC + KH`

Mà $KC = KQ ( cmt )$

`=> 2KC > KQ + KH`

`=> 2KC > QH`

Đáp án:

a) Tia phân giác của $\widehat{ABC}$ cắt $AC$ tại $K$

$\Rightarrow BK$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$.

$\Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{KBH}$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABK$ và $\Delta HBK$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{ABK}=\widehat{KBH}\,\rm(cmt)\\BK\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\!\right\}\Delta ABK=\Delta HBK$ (ch-gn).

b) $\Delta ABK=\Delta HBK\Rightarrow AK=HK$ (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác vuông $\Delta AQK$ và $\Delta HKC$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{KAQ}=\widehat{KHC}\,\rm(cmt)\\AK=HK\,\rm(cmt)\\\widehat{AKQ}=\widehat{HKC}\,\rm(đ^2)\end{array}\!\right\}\Delta AQK=\Delta HKC$ (g-c-g).

$\Rightarrow QK=KC$ (hai cạnh tương ứng).

c) $\Delta HKC$ vuông tại $H$

$\Rightarrow KC$ là cạnh huyền và $HK$ là cạnh góc vuông

$\Rightarrow HK<KC$ (cạnh góc vuông luôn bé hơn cạnh huyền).

$\Rightarrow HK+KC<KC+KC$ (mà $QK=KC$)

$\Rightarrow HK+QK<2KC$

$\Rightarrow QH<2KC$.