Ta có `: AM = MC = 1/2 AC (` Vì $BM$ là trung tuyến của $\triangle$ $ABC )$

`=> AC = 10 : 1/2 = 20( cm )`

Xét $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A$ ta có $:$

`BC^2 = AB^2 + AC^2 (` Định lý Pitago $)$

Hay `BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625`

`=> BC = 25 ( BC > 0 )`

Vậy `BC = 25cm`

`b)` Xét $\triangle$ $ABM$ và $\triangle$ $CDM$ ta có $:$

$MA = MD ( gt )$

$\widehat{BMA}$ $=$ $\widehat{DMC}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

$MA = MC ( cmt )$

`=>` $\triangle$ $ABM$ $=$ $\triangle$ $CDM ( c - g - c )$

`=>` $\widehat{BAM}$ $=$ $\widehat{DCM}$

Mà  $\widehat{BAM}$ $= 90^o ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A )$

`=>` $\widehat{DCM}$ $= 90^o$

Vậy $\widehat{DCM}$ $= 90^o$

`c)` Xét $\triangle$ $BMC$ và $\triangle$ $DMA$ ta có $:$

$MA = MD ( gt )$

$\widehat{BMC}$ $=$ $\widehat{DMA}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

$MA = MC ( cmt )$

`=>` $\triangle$ $BMC$ $=$ $\triangle$ $DMA ( c - g - c )$

`=> AD = BC ( 2` cạnh tương ứng $)$

Mà $BC = 25 ( cmt )`

`=> AD = BC = 25cm`

`=> AB < AD ( 15 < 25 )`

Xét $\triangle$  $ADB$ ta có $:$

`AB < AD ( cmt )$

`=>` $\widehat{ADB}$ $<$ $\widehat{DBA}$ $($ quan hệ giữa góc và cạnh đối diện $)$

Mà $\widehat{ADB}$ $=$ $\widehat{MBC}$ $($ vì $\triangle$ $BMC$ $=$ $\triangle$ $DMA )$

`=>` $\widehat{MBC}$  $<$ $\widehat{DBA}$

Giải thích các bước giải:

a.Vì $M$ là trung điểm $AC\to AC=2AM=20$

Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC^2=AB^2+AC^2=625$

$\to BC=25$

b.Xét $\Delta ABM,\Delta CDM$ có:

$MA=MC$ vì $M$ là trung điểm $AC$

$\widehat{AMB}=\widehat{CMD}$(đối đỉnh)

$MB=MD$

$\to \Delta ABM=\Delta CDM(c.g.c)$

$\to \widehat{MCD}=\widehat{MAB}=90^o$

c.Xét $\Delta MAD,\Delta MCB$ có:

$MA=MC$ vì $M$ là trung điểm $AC$

$\widehat{AMD}=\widehat{CMB}$(đối đỉnh)

$MD=MB$

$\to \Delta MAD=\Delta MCB(c.g.c)$

$\to \widehat{ADM}=\widehat{MBC},AD=BC=25\to AD>AB$

$\to \widehat{ADB}<\widehat{ABD}$

$\to \widehat{ADM}<\widehat{ABM}$

$\to \widehat{MBC}<\widehat{MAB}$