Giải thích các bước giải:

`a.`

Xét $\triangle$ `MNP` vuông tại `M` có:

`NP^2=MN^2+MP^2` (đl Pytago)

Hay `NP^2=6^2+8^2`

`->NP=` $\sqrt{100}$`=10 (cm)`

$S_{MNP}$ `=1/2.MN.MP=1/2.MH.NP`

`->MN.MP=MH.NP`

Hay `6.8=MH.10`

`->MH=(6.8)/10=4,8 (cm)`

`b.`

Xét $\triangle$ `MHP` vuông tại `H` và $\triangle$ `NMP` vuông tại `M` có:

$\widehat{NPM}$: góc chung

Vậy $\triangle$ `MHP` $\backsim$ $\triangle$ `NMP` (góc nhọn)

`->(MH)/(PH)=(MN)/(MP)`

`->MH.MP=MN.PH (đpcm)`

`c.`

Xét tứ giác `EHFM` có:

$\widehat{HEM}$ `=` $\widehat{EMF}$ `=` $\widehat{MFH}$ `=` $90^0$ (gt)

`->EHFM` là hình chữ nhật

Ta có: $\begin{cases}\widehat{N}+ \widehat{P} =90^0\\\widehat{N}+\widehat{NMH} =90^0\\ \end{cases}$

`->` $\widehat{P}$ `=` $\widehat{NMH}$

Mà $\widehat{NMH}$ `=` $\widehat{IEM}$ (`EHFM` là hình chữ nhật)

`->` $\widehat{P}$ `=` $\widehat{IEM}$

Xét $\triangle$ `MEF` vuông tại `M` và $\triangle$ `MPN` vuông tại `M` có:

$\widehat{P}$ `=` $\widehat{IEM}$ `(cmt)`

Vậy $\triangle$ `MEF` $\backsim$ $\triangle$ `MPN` (góc nhọn)

`->(ME)/(MF)=(MP)/(MN)`

`->ME.MN=MF.MP (đpcm)`

`d.`

Xét $\triangle$ `MNP` vuông tại `M` có: `MD` là trung tuyến (gt)

`->MD=NP/2=PD`

`->` $\triangle$ `MDP` cân tại `D`

`->` $\widehat{P}$ `=` $\widehat{PMD}$

Mà $\widehat{P}$ `=` $\widehat{IEM}$ `(cmt)`

`->` $\widehat{PMD}$ `=` $\widehat{IEM}$

Lại có: $\widehat{PMD}$ `+` $\widehat{EMI}$ `=` $90^0$

`->` $\widehat{IEM}$ `+` $\widehat{EMI}$ `=` $90^0$

`->` $\triangle$ `EMI` vuông tại `I`

`->` $\widehat{MIO}$`=` $90^0$

Xét $\triangle$ `MIO` vuông tại `I`  và $\triangle$ `MHD` vuông tại `H` có:

$\widehat{HMD}$: góc chung

Vậy $\triangle$ `MIO` $\backsim$ $\triangle$ `MHD` (góc nhọn)

`->(MI)/(MO)=(MH)/(MD)`

`->MI.MD=MO.MH (đpcm)`