Giải thích các bước giải:

`a.`

Xét $\triangle$ `ABC` vuông tại `A` và $\triangle$ `MDC` vuông tại `M` có:

$\widehat{BCA}$: góc chung

Vậy $\triangle$ `ABC` $\backsim$ $\triangle$ `MDC` (góc nhọn)

`b.`

Xét $\triangle$ `BIM` vuông tại `M` và $\triangle$ `BCA` vuông tại `A` có:

$\widehat{ABC}$: góc chung

Vậy $\triangle$ `BIM` $\backsim$ $\triangle$ `BCA` (góc nhọn)

`->(BI)/(BM)=(BC)/(BA)`

`->BI.BA=BM.BC (đpcm)`       `(1)`

`c.`

Xét $\triangle$ `ABC` có: `AB` và `DM` là hai đường cao (`AB` $\bot$ `AC; DM` $\bot$ `BC`)

`->I` là trực tâm $\triangle$ `ABC` 

`->CI` là đường cao thứ ba

`->CI` $\bot$ `BD` tại `K`

Xét $\triangle$ `BCK` vuông tại `K` và $\triangle$ `ICM` vuông tại `M` có:

$\widehat{BCK}$: góc chung

Vậy $\triangle$ `BCK` $\backsim$ $\triangle$ `ICM` (góc nhọn)

`->(BC)/(CK)=(CI)/(CM)`

`->CK.CI=BC.CM`            `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` cộng vế theo vế ta được

`BI.BA+CK.CI=BM.BC+BC.CM`

`<=>BI.BA+CK.CI=BC.(BM+CM)`

`<=>BI.BA+CK.CI=BC^2`

Mà `BC` không đổi

`->BI.BA+CK.CI` không đổi khi `M` di chuyển

`->BI.BA+CK.CI` không phụ thuộc vào vị trí điểm `M (đpcm)`

`d.` Sửa đề: Chứng minh rằng: góc `MAI=` góc `BAK`, từ đó suy ra `AB` là tia phân giác của góc `MAK`

Xét $\triangle$ `CAI` vuông tại `A` và $\triangle$ `BKI` vuông tại `K` có:

$\widehat{CIA}$ `=` $\widehat{BIK}$ (`2` góc đối đỉnh)

Vậy $\triangle$ `CAI` $\backsim$ $\triangle$ `BKI` (góc nhọn)

`->(AI)/(IC)=(IK)/(IB)`

Xét $\triangle$ `IAK` và $\triangle$ `ICB` có:

`(AI)/(IC)=(IK)/(IB) (cmt)`

$\widehat{AIK}$ `=` $\widehat{CIB}$ (`2` góc đối đỉnh)

Vậy $\triangle$ `IAK` $\backsim$ $\triangle$ `ICB (c.g.c)`

`->` $\widehat{KAI}$ `=` $\widehat{BCI}$           `(3)`

Xét $\triangle$ `BMA` và $\triangle$ `BIC` có:

`(BM)/(BI)=(BA)/(BC) (cmt)`

$\widehat{CBA}$: góc chung

Vậy $\triangle$ `BMA` $\backsim$ $\triangle$ `BIC (c.g.c)`

`->` $\widehat{BAM}$ `=` $\widehat{BCI}$          `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` suy ra $\widehat{KAI}$ `=` $\widehat{BAM}$ 

Hay $\widehat{BAK}$ `=` $\widehat{MAI}$ 

`->AB` là tia phân giác $\widehat{MAK}$ `(đpcm)`