a) Xét $\Delta AMH $ và $ \Delta AHB$, ta có:

$\widehat {AMH} = \widehat {AHB}( = {90^ \circ })$

$\widehat A$ là góc chung

$ \Rightarrow \Delta AMH \sim \Delta AHB(g - g)$

$ \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AH}} = \dfrac{{AH}}{{AB}} \\ \Rightarrow AM.AB = A{H^2} \\ $

b) $ \Rightarrow \Delta ANH \sim \Delta AHC(g - g) \\ \Rightarrow \frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}} \\ \Rightarrow AN.AC = A{H^2} \\ \Rightarrow AM.AB = AN.AC \\ c)AM.AB = AN.AC \\ \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{AN}}{{AB}} \\ $

Xét $\Delta AMN $ và $ \Delta ACB$, ta có:

$ \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{AN}}{{AB}}$

$\widehat A$ là góc chung

$ \Rightarrow \Delta AMN \sim \Delta ACB(c - g - c) \\ MN = AH = 6(cm) \\ {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.6.9 = 27(c{m^2}) \\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\dfrac{{MN}}{{BC}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{6}{9}} \right)^2} \\ \Rightarrow {S_{AMN}} = \dfrac{4}{9}{S_{ABC}} = \dfrac{4}{9}.27 = 12(c{m^2}) \\ $

d) $BI$ cắt $AC$ tại $K$

Ta có $AM$ là trung trực của $PH$

$\Rightarrow \Delta AHP$ cân tại$A$

$ \Rightarrow \widehat {PAM} = \widehat {HAM}$

Mà $\widehat {IBA} = \widehat {BAH}$ ( so le trong)

$ \Rightarrow \widehat {IBA} = \widehat {IAM}$

$\Delta IBA$ cân tại $I$

$\Rightarrow IA=IB$

Tương tự $\Delta IAK$ cân tại $I$

$\Rightarrow IA=IK$

Vậy $IA=IB=IK$

Giả sử $CI$ cắt $AH$ tại $E$

Ta có: $AH//BK$

$\Rightarrow \dfrac{{HE}}{{BI}} = \dfrac{{CE}}{{CI}} = \dfrac{{E{\text{A}}}}{{IK}}$

Vậy $HE=EA$ hay $E$ là trung điểm của $AH$

Mặt khác $E$ là trung điểm của $MN$

Vậy $MN; AH; CI$ đồng qui