Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AHchung\\
\widehat {AHB} = \widehat {AHD} = {90^0}\\
HB = HD
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHD\left( {c.g.c} \right)
\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta AHB = \Delta AHD\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow AB = AD
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};\widehat C = {30^0}\\
 \Rightarrow \widehat B = {90^0} - \widehat C = {60^0}
\end{array}$

Khi đó:

$\Delta ABD;\widehat B = {60^0};AB = AD$

$ \Rightarrow \Delta ABD$ đều.

c) Ta có:

$\Delta ABD$ đều.

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {DAB} = {60^0}\\
 \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat A - \widehat {DAB} = {30^0}\\
 \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {ACD}\left( { = {{30}^0}} \right)
\end{array}$

$ \Rightarrow \Delta ACD$ cân ở $D$

$ \Rightarrow CD = AD$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {CED} = \widehat {AHD} = {90^0}\\
CD = AD\\
\widehat {CDE} = \widehat {ADH}\left( {dd} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta CDE = \Delta ADH\left( {ch - gn} \right)\\
 \Rightarrow DE = DH\\
 \Rightarrow DE = HB
\end{array}$

d) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
AE \bot CI\\
CH \bot AI\\
AE \cap CH = D
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow D$ là trực tâm của $\Delta ACI$

$ \Rightarrow ID \bot AC$

Mà $DF \bot AC$

$ \Rightarrow I,D,F$ thẳng hàng