`1)` Ta có:

$\begin{cases}\text{N là trung điểm BC(gt)}\\\text{DE là đường kính của (O)}\end{cases}$

`=>DE`$\perp BC$ tại $N$ (đường kính vuông góc tại trung điểm dây cung)

`=>\hat{ENC}=90°`

Vì $E F\perp AC$ tại $F$ (gt)

`=>\hat{E FC}=90°`

`=>\hat{ENC}=\hat{E FC}=90°`

`=>2` đỉnh `N;F` cùng nhìn cạnh `EC` dưới góc vuông

`=>E FNC` nội tiếp $(1)$

$\\$

`2)` Vẽ $CH\perp AE$ tại $H$

Ta có: `\hat{EFC}=\hat{EHC}=90°`

`=>2` đỉnh `F;H` cùng nhìn cạnh `EC` dưới góc vuông

`=>E FNC` nội tiếp $(2)$

`(1);(2)=>5` điểm `E;C;N;F;H` cùng thuộc một đường tròn 

`=>HNCE` nội tiếp; `FNCH` nội tiếp

`=>\hat{FNH}=\hat{FCH}=\hat{ACH}` $(3)$

(cùng chắn cung `FH)`

$\\$

Ta có: `\hat{HAC}=\hat{EDC}` $(3)$

 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung `EC)`

Xét `\Delta ACH` vuông tại `H` có:

`\qquad \hat{HAC}+\hat{ACH}=90°`

`=>\hat{HAC}+\hat{FNH}=90°` $(4)$

Ta có: `\hat{ECD}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>\Delta ECD` vuông tại `C`

 `=>\hat{EDC}+\hat{DEC}=90°` $(5)$

Từ `(3);(4);(5)=>\hat{FNH}=\hat{DEC}=\hat{NEC}`

$\\$

Vì `HNCE` nội tiếp 

`=>\hat{NEC}=\hat{NHC}` (cùng chắn cung `NC)`

`=>\hat{FNH}=\hat{NHC}`

Mà `2` góc `\hat{FNH};\hat{NHC}` ở vị trí so le trong 

`=>NF`//$CH$

Vì $CH\perp AE$

`=>NF`$\perp AE$ (đpcm)

$\\$

`3)` Từ câu 1 ta có `EN` vừa là trung tuyến và đường cao `\Delta EBC`

`=>\Delta EBC` cân tại `E`

`=>EN` cũng là phân giác `\Delta EBC`

`=>\hat{BED}=\hat{CED}`

`=>\stackrel\frown{DB}=\stackrel\frown{DC}` (2 góc bằng nhau chắn `2` cung bằng nhau)

`=>\hat{BAD}=\hat{CAD}` (2 góc bằng nhau chắn `2` cung bằng nhau)

`=>AD` là phân giác trong của `\hat{BAC}` $(6)$

$\\$

Ta có: `\hat{DAE}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>AD`$\perp AE$ $(7)$

Từ `(6);(7)=>AE` là phân giác ngoài của `\Delta BAC`

Mà `\hat{BAC}+\hat{QAF}=180°` (2 góc kề bù)

`=>AE` là phân giác của `\hat{QAF}`

$\\$

Vì $NF\perp AE$ (câu 2)

`=>AE` vừa là phân giác và đường cao `\Delta QA F`

`=>\Delta QAF` cân tại `A`

`=>AQ=AF`

$\\$

Xét `\Delta AQE` và `\Delta AFE` có:

`\qquad AE` chung

`\qquad \hat{QAE}=\hat{FAE}` (do `AE` là phân giác `\hat{QA F})`

`\qquad AQ=AE`

`=>\Delta AQE=\Delta A FE` (c-g-c)

`=>\hat{EQA}=\hat{E FA}=90°` (đpcm)

$\\$

Áp dụng tính chất đường phân giác:

+) `AI` là phân giác `\hat{BAK}` (do `AD` là phân giác của `\hat{BAC})`

`=>{IB}/{IK}={AB}/{AK}` $(8)$

$\\$

+) `AE` là phân giác góc ngoài của `\Delta BAK)` `(AE` là phân giác góc ngoài của `\Delta BAC)` 

`=>{EB}/{EK}={AB}/{AK}`  $(9)$

Từ `(8);(9)=>{IB}/{IK}={EB}/{EK}`

`=>{EB}/{IB}={EK}/{IK}` (đpcm)