Đáp án:

a) $BD$ là đường phân giác của $\widehat{ABC}$.

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{BDH}$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta ADH$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{ABD}=\widehat{BDH}\,\rm(cmt)\\BD\ \rm là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABD=\Delta BDH$ (ch-gn).

$\Rightarrow AB=BH$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta ABH$ cân tại $B$.

$\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{AHB}$ (hai góc đáy bằng nhau).

Mà $\widehat{BAH}+\widehat{AHB}$

$=180^\circ-\widehat{ABH}=180^\circ-60^\circ=120^\circ$.

Nên $\widehat{BAH}=\widehat{AHB}=\dfrac{120^\circ}2=60^\circ$.

$\Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{BAH}=\widehat{AHB}$

$\Rightarrow\Delta ABH$ đều $\Rightarrow AH=BH$.

Ta có $\widehat{BAC}=\widehat{BAH}+\widehat{HAC}$

$\Rightarrow 90^\circ=60^\circ+\widehat{HAC}$

$\Rightarrow\widehat{HAC}=30^\circ$.

Xét tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^\circ$

$\Rightarrow60^\circ+\widehat{ACB}=90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{ACB}=30^\circ$

$\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{ACB}$

$\Rightarrow\Delta HAC$ cân tại $H$

$\Rightarrow AH=HC$ mà $AH=BH$

$\Rightarrow BH=HC$

$\Rightarrow H$ là trung điểm của $BC$.