a)

$\Delta BAC$ cân tại $B$ có $BD$ là đường trung tuyến

$\to BD$ cũng là đường cao

$\to BD\bot AC$ tại $D$

$\Delta BAC$ có hai đường cao $BD,CE$ cắt nhau tại $H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta BAC$

$\to AH$ là đường cao thứ ba

$\to AH\bot BC$

Mà $HF\bot BC\,\,\left( \,gt\, \right)$

$\to AH\equiv HF$

$\to $ ba điểm $A,H,F$ thẳng hàng

Xét $\Delta BEC$ vuông tại $E$ và $\Delta BFA$ cân tại $F$, ta có:

$BC=BA$ ( vì $\Delta BAC$ cân tại $B$ )

$\widehat{ABC}$ là góc chung

$\to \Delta BEC=\Delta BFA$ ( cạnh huyền – góc nhọn )

$\to BE=BF$ ( hai cạnh tương ứng )

Ta có:$\begin{cases}AE+BE=AB\\CF+BF=CB\end{cases}$

Mà: $\begin{cases}BE=BF\,\,\,\left(\,cmt\,\right)\\AB=CB\,\,\,\left(\text{ tam giác BAC cân tại B }\right)\end{cases}$

Nên: $AE=CF$

b)

Xét $\Delta EAH$ vuông tại $E$ và $\Delta KAG$ vuông tại $K$, ta có:

$AE=AK\,\,\,\left( \,gt\, \right)$

$EH=KG\,\,\,\left( \,gt\, \right)$

$\to \Delta EAH=\Delta KAG$ ( cạnh góc vuông – cạnh góc vuông )

$\to \widehat{HAE}=\widehat{GAK}$ ( hai góc tương ứng )

Mà $\widehat{HAE}=\widehat{BCE}$ ( cùng phụ $\widehat{ABC}$ )

Nên $\widehat{GAK}=\widehat{BCE}$

c)

Ta có: $\widehat{HAE}=\widehat{GAK}$ ( cmt )

Mà: $\widehat{HAE}+\widehat{HAK}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )

Nên $\widehat{GAK}+\widehat{HAK}=180{}^\circ $

Hay ba điểm $G,A,H$ thẳng hàng

Mà ba điểm $A,H,F$ thẳng hàng ( cmt )

$\to $ bốn điểm $G,A,H,F$ thẳng hàng

$\to $ ba điểm $G,H,F$ thẳng hàng