a)

$AC$ là tia phân giác $\widehat{MAB}$

$\to \widehat{MAC}=\widehat{BAC}=\dfrac{\widehat{BAM}}{2}=\dfrac{60{}^\circ }{2}=30{}^\circ $

$BC\,\,||\,\,AM$

$\to \widehat{MAC}=\widehat{BCA}=30{}^\circ $ ( hai góc so le trong )

$\to \widehat{BAC}=\widehat{BCA}=30{}^\circ $

Xét $\Delta ABK$ vuông tại $K$ và $\Delta CBK$ vuông tại $K$, ta có:

$BK$ là cạnh chung

$\widehat{BAC}=\widehat{BCA}=30{}^\circ \,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \Delta ABK=\Delta CBK$ ( cạnh góc vuông – góc nhọn )

$\to KA=KC$ ( hai cạnh tương ứng )

$\to K$ là trung điểm của $AC$

b)

$\Delta AHB$ vuông tại $H$

$\to \widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90{}^\circ $

$\to \widehat{HBA}=90{}^\circ -\widehat{HAB}$

$\to \widehat{HBA}=90{}^\circ -60{}^\circ $

$\to \widehat{HBA}=30{}^\circ $

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$  và $\Delta BKC$ vuông tại $K$, ta có:

$AB=BC$ ( vì $\Delta ABK=\Delta CBK$ )

$\widehat{HBA}=\widehat{BCA}=30{}^\circ $

$\to \Delta AHB=\Delta BKC$ ( cạnh huyền – góc nhọn )

$\to HB=KC$ ( hai cạnh tương ứng )

Mà $KC=\dfrac{AC}{2}$ ( vì $K$ là trung điểm $AC$ )

Vậy $HB=\dfrac{AC}{2}$