Đáp án:

Số `\text{M}` cần tìm là `106` và `-106`

Giải thích các bước giải:

Gọi `3` số được số `\text{M}` chia thành lần lượt là `a,b,c` `(a,b,c\inRR)`

Theo bài ra`,` ta có`:`

$\dfrac{a}{0,5}=\dfrac{b}{1\dfrac{2}{3}}=\dfrac{c}{2\dfrac{1}{4}}$ và `a^2+b^2+c^2=4660`

Hay $\dfrac{2a}{2.0,5}=\dfrac{b}{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{c}{\dfrac{9}{4}}$

`=>`$\dfrac{2a}{1}=\dfrac{3b}{5}=\dfrac{4c}{9}$

`=>`$\dfrac{2a}{12}=\dfrac{3b}{5.12}=\dfrac{4c}{9.12}$

`=>`$\dfrac{a}{6}=\dfrac{b}{20}=\dfrac{c}{27}$    `(1)`

`=>`$\dfrac{a^2}{36}=\dfrac{b^2}{400}=\dfrac{c^2}{729}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau`,` ta có`:`

$\dfrac{a^2}{36}=\dfrac{b^2}{400}=\dfrac{c^2}{729}$`=(a^2+b^2+c^2)/(36+400+729)=4660/1165=4`

Như vậy`:` `a^2/36=4` `=>a^2=4.36=144=>`\(\left[ \begin{array}{l}a=12\\a=-12\end{array} \right.\)

$*$`)` Với `a=12,` kết hợp với `(1)` ta được`:`

$\begin{cases} \dfrac{b}{20}=\dfrac{12}{6}=2⇒b=2.20=40\\\dfrac{c}{27}=\dfrac{12}{6}=2⇒c=2.27=54 \end{cases}$

$*$`)` Với `a=-12,` kết hợp với `(1)` ta được`:`

$\begin{cases} \dfrac{b}{20}=\dfrac{-12}{6}=-2⇒b=-2.20=-40\\\dfrac{c}{27}=\dfrac{-12}{6}=-2⇒c=-2.27=-54 \end{cases}$

Từ đó`,` ta tìm được hai giá trị `\text{M}` là`:`

$\begin{cases} \text{M = }12+40+54=106\\\text{M = }-12+(-40)+(-54)=-106 \end{cases}$

Vậy số `\text{M}` cần tìm là `106` và `-106`