a/ Xét $ΔADB$ và $ΔAFC$:

$\widehat{A}:chung$

$AB=AC$ ($ΔABC$ cân tại $A$)

$\widehat{AFC}=\widehat{ADB}$ ($=90^\circ$)

$→ΔADB=ΔAFC(CH-GN)$

$→AD=AE$ (2 cạnh tương ứng)

$→ΔADE$ cân tại $A$

$\\$

b/ $ΔADE$ cân tại $A$

$→\widehat{ADE}=\dfrac{180^\circ-\widehat{A}}{2}$

$ΔABC$ cân tại $A$

$→\widehat{ABC}=\dfrac{180^\circ-\widehat{A}}{2}$

Từ 2 điều trên $→\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$

mà 2 góc ở vị trí đồng vị

$→DE//BC$

$\\$

c/ $BD∩CE≡\{I\}$ mà $BD,CE$ là đường cao $AC,AB$

$→I$ là trực tâm $ΔABC$

$→AI$ là đường cao $BC$

mà $ΔABC$ cân tại $A$

$→AI$ là đường trung trực $BC$

$→IB=IC$

$\\$

d/ $AI$ là đường cao $BC$

$→AI⊥BC$

Nếu bạn đã học trực tâm thì cách làm ở bạn bên dưới, còn mình sẽ trình bày theo cách không phải trực tâm.

a)

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ và $\Delta ACE$ vuông tại $E$, ta có:

$\widehat{BAC}$ là góc chung

$AB=AC\,\,\,\,\left( \,gt\, \right)$

$\to \Delta ABD=\Delta ACE\,\,\,\left( \,ch\,-\,gn\, \right)$

$\to AD=AE$ ( hai cạnh tương ứng )

$\to \Delta ADE$ cân tại $A$

b)

$\Delta ADE$ cân tại $A$

$\to \widehat{AED}=\dfrac{180{}^\circ \,-\,\widehat{BAC}}{2}$

$\Delta ABC$ cân tại $A$

$\to \widehat{ABC}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

$\to \widehat{AED}=\widehat{ABC}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị

$\to DE\,\,||\,\,BC$

c)

Xét $\Delta AEI$ vuông tại $E$ và $\Delta ADI$ vuông tại $D$, ta có:

$AI$ là cạnh chung

$AE=AD\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \Delta AEI=\Delta ADI\,\,\,\left( \,ch\,-\,cgv\, \right)$

$\to \widehat{EAI}=\widehat{DAI}$ ( hai góc tương ứng )

Xét $\Delta ABI$ và $\Delta ACI$, ta có:

$AB=AC\,\,\,\left( \,gt\, \right)$

$\widehat{EAI}=\widehat{DAI}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$AI$ là cạnh chung

$\to \Delta ABI=\Delta ACI\,\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$

$\to BI=CI$ ( hai cạnh tương ứng )

d)

Kéo dài $AI$ cắt $BC$ tại $H$

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ACH$, ta có:

$AB=AC\,\,\,\left( \,gt\, \right)$

$\widehat{EAI}=\widehat{DAI}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$AH$ là cạnh chung

$\to \Delta ABH=\Delta ACH\,\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$

$\to \widehat{AHB}=\widehat{AHC}$ ( hai góc tương ứng )

Mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )

Nên $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

$\to AH\bot BC$

Hay $AI\bot BC$