a)

Ta có $B{{C}^{2}}={{13}^{2}}=169$

Ta có $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169$

$\to B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to \Delta ABC$ vuông tại $A$ (Định lý Pytago đảo)

b)

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ và $\Delta KBE$ vuông tại $K$, ta có:

+   $BE$ là cạnh chung

+   $\widehat{ABE}=\widehat{KBE}$ (vì $BE$ là phân giác)

$\to \Delta ABE=\Delta KBE\left( ch-gn \right)$

$\to BA=BK$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \Delta BAK$ cân tại $B$

c)

Xét $\Delta BKM$ vuông tại $K$ và $\Delta BAC$ vuông tại $A$, ta có:

+   $BK=BA\left( cmt \right)$

+   $\widehat{ABC}$ là góc chung

$\to \Delta BKM=\Delta BAC\left( cgv-gn \right)$

$\to KM=AC=12cm$

d)

Vì $\Delta BKM=\Delta BAC\left( cmt \right)$

$\to BM=BC$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \Delta BMC$ cân tại $B$

$\to \widehat{BCM}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{ABC}}{2}$

Mà $\widehat{BKA}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{ABC}}{2}$ (vì $\Delta BAK$ cân tại $B$)

$\to \widehat{BCM}=\widehat{BKA}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Vậy $AK//MC$

e)

Vì $EQ$ là trung tuyến của $\Delta EMC$

$\to Q$ là trung điểm của $MC$

$\to BQ$ là trung tuyến của $\Delta BMC$

Mà $\Delta BMC$ lại cân tại $B$

$\to BQ$ cũng đồng thời là đường phân giác

$\to BQ$ là phân giác $\widehat{ABC}$

Mà $BE$ cũng là phân giác $\widehat{ABC}$

$\to BE\equiv BQ$

$\to B,E,Q$ thẳng hàng