Đáp án:

a) Xét hai tam giác vuông $\Delta ABH$ và $\Delta AHD$ có:

$\left.\begin{array}{l}HD=HB\,\rm(gt)\\AH\ \rm là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABH=\Delta AHD\,\rm(c-g-c)$

b) Ta xét tam giác vuông $\Delta ABC$ tại $A$.

$\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{ABC}+30^\circ=90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{ABC}=60^\circ$.

$\Delta ABH=\Delta AHD\Rightarrow AB=AD$

$\Rightarrow\Delta ABD$ cân tại $A$.

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ADB}$

$\Rightarrow\widehat{ADB}=60^\circ$ ($\widehat{ABD}=60^\circ$).

$\Rightarrow\widehat{ABD}+\widehat{ADB}+\widehat{BAD}=180^\circ$

$\Rightarrow60^\circ+60^\circ+\widehat{BAD}=180^\circ$

$\Rightarrow120^\circ+\widehat{BAD}=180^\circ$

$\Rightarrow\widehat{BAD}=60^\circ$

$\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{ABD}=\widehat{ADB}$

$\Rightarrow\Delta ABD$ đều.

c) Ta có $\widehat{BAD}+\widehat{DAC}=\widehat{BAC}=90^\circ$

$\Rightarrow 60^\circ+\widehat{DAC}=90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{DAC}=30^\circ$

$\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{ACD}$

$\Rightarrow\Delta DAC$ cân tại $D$.

$\Rightarrow AD=CD$ (hai cạnh bên bằng nhau trong tam giác cân)

Xét hai tam giác vuông $\Delta ADH$ và $\Delta DEC$ có:

$\widehat{ADH}=\widehat{EDC}$ (đối đỉnh).

$\left.\begin{array}{l}\widehat{ADH}=\widehat{EDC}\rm\,(cmt)\\AD=CD\rm\,(cmt)\end{array}\right\}\Delta ADH=\Delta DEC\,(\rm ch-gn)$

$\Rightarrow DH=DE$ (hai cạnh tương ứng) (*).

$\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AHD$ (cmt)

$\Rightarrow BH=DH$ (hai cạnh tương ứng) (**).

(*) và (**) $\Rightarrow DE=HB$.

d) $HC\,\bot\,AI\Rightarrow HC$ là đường cao của $\Delta ACI$

$AE\,\bot\,CI\Rightarrow AE$ là đường cao của $\Delta ACI$.

$IF\,\bot\,AC\Rightarrow IF$ là đường cao của $\Delta ACI$.

$\Rightarrow HC\cap AE\cap IF=D$

$\Rightarrow D$ là trực tâm của $\Delta ACI$.

$\Rightarrow IF$ đi qua trực tâm $D$

$\Rightarrow D\in IF\Rightarrow I$, $D$, $F$ thẳng hàng.