a)

Xét $\Delta AKC$ và $\Delta PKB$, ta có:

$AK=PK$ ( gt )

$\widehat{AKC}=\widehat{PKB}$ ( hai góc đối đỉnh )

$KC=KB$ ( $K$ là trung điểm $BC$ )

$\to \Delta AKC=\Delta PKB\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$

$\to \widehat{ACK}=\widehat{PBK}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

Nên $AC\,\,||\,\,BP$

b)

vì $AC\,\,||\,\,BP$ ( cmt )

$\to \widehat{PBA}+\widehat{BAC}=180{}^\circ $ ( hai góc trong cùng phía )

Mà $\widehat{MAN}+\widehat{BAC}=180{}^\circ $

Nên $\widehat{PBA}=\widehat{MAN}$

Vì $\Delta AKC=\Delta PKB$ ( cmt )

$\to AC=BP$

Mà $AC=AM$ ( gt )

Nên $AM=BP$

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta BPA$, ta có:

$AM=BP$ ( cmt )

$\widehat{MAN}=\widehat{PBA}$ ( cmt )

$AN=AB$ ( gt )

$\to \Delta AMN=\Delta BPA$

c)

Vì $\Delta AMN=\Delta BPA$ ( cmt )

$\to \widehat{ANM}=\widehat{BAP}$ ( hai góc tương ứng )

Mà $\widehat{BAP}+\widehat{NAH}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{ANM}+\widehat{NAH}=90{}^\circ $

$\to \Delta ANH$ vuông tại $H$

$\to AH\bot HN$

$\to AK\bot MN$