a)

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta CMN$, ta có:

+   $MA=MC\left( gt \right)$

+   $MB=MN\left( gt \right)$

+   $\widehat{AMB}=\widehat{CMN}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \Delta AMB=\Delta CMN\left( c.g.c \right)$

b)

Xét $\Delta AEM$ vuông tại $E$ và $\Delta CFM$ vuông tại $F$, ta có:

+   $MA=MC\left( gt \right)$

+   $\widehat{AME}=\widehat{CMF}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \Delta AEM=\Delta CFM\left( ch-gn \right)$

$\to AE=CF$ (hai cạnh tương ứng)

c)

Ta có $CN+BC>BN$ (BĐT $\Delta BCN$)

Mà $AB=CN$ (vì $\Delta AMB=\Delta CMN$)

Và $BN=2BM$

Nên $AB+BC>2BM$

$\to \dfrac{AB+BC}{2}>BM$

d)

Gọi $D$ là giao điểm $BA$ và $CF$

Xét $\Delta DBC$ có hai đường cao $CA,BF$ cắt nhau tại $M$

$\to M$ là trực tâm của $\Delta DBC$

$\to DM\bot BC$

Mà $MH\bot BC$

$\to DM\equiv MH$

$\to D,M,H$ thẳng hàng