Giải thích các bước giải:

a.Ta có $E,H$ đối xứng qua $AB\to AE=AH$

            $H,F$ đối xứng qua $AC\to AF=AH$

$\to AE=AF(=AH)$

b.Ta có $E,H$ đối xứng qua $AB\to AB$ là trung trực của $EH$

Mà $M\in AB\to ME=MH$

Xét $\Delta AME,\Delta AMH$ có:

Chung $AM$

$AE=AH$

$ME=MH$

$\to\Delta AME=\Delta AMH(c.c.c)$

$\to \widehat{MAH}=\widehat{MAE},\widehat{MHA}=\widehat{MEA}$

Tương tự $\widehat{NAH}=\widehat{NAF},\widehat{NHA}=\widehat{NFA}$

$\to \widehat{EAF}=\widehat{EAM}+\widehat{MAN}+\widehat{NAF}$

$\to \widehat{EAF}=\widehat{MAH}+\widehat{MAN}+\widehat{NAH}$

$\to \widehat{EAF}=(\widehat{MAH}+\widehat{NAH})+\widehat{MAN}$

$\to \widehat{EAF}=\widehat{MAN}+\widehat{MAN}$

$\to \widehat{EAF}=2\widehat{MAN}$

$\to \widehat{EAF}=2\widehat{BAC}$

$\to \widehat{EAF}=140^o$

Mà $AE=AF\to \Delta AEF$ cân tại $A$

$\to\widehat{AFE}=\widehat{AEF}=90^o-\dfrac12\widehat{EAF}=20^o$

c.Ta có $\Delta AEF$ cân tại $A$

$\to \widehat{AHM}=\widehat{AEM}=\widehat{AEF}=\widehat{AFE}=\widehat{AFN}=\widehat{AHN}$

$\to HA$ là phân giác $\widehat{MHN}$

d.Ta có $AH\perp BC\to \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o$

Mà $\widehat{AHM}=\widehat{AHN}$

$\to \widehat{MHB}=90^o-\widehat{MHA}=90^o-\widehat{NHA}=\widehat{NHC}$

Ta có $AB$ là trung trực của $EH\to BE=BH$

Xét $\Delta MEB,\Delta MHB$ có:

Chung $MB$

$ME=MH$

$BE=BH$

$\to\Delta MBE=\Delta MBH(c.c.c)$

$\to\widehat{MEB}=\widehat{MHB}$

Tương tự $\widehat{CFN}=\widehat{CHN}$

Mà $\widehat{MHB}=\widehat{NHC}$

$\to\widehat{MEB}=\widehat{NFC}$

$\to\widehat{FEO}=\widehat{EFO}$

$\to \Delta OEF$ cân tại $O\to OE=OF$

Xét $\Delta AOE,\Delta AOF$ có:

Chung $OA$

$AE=AF$

$OE=OF$

$\to\Delta OEA=\Delta OFA(c.c.c)$

$\to \widehat{EAO}=\widehat{FAO}$

$\to AO$ là phân giác $\widehat{EAF}$