Đáp án:

`c)`

Vì `OI` là tia phân giác của `hat{mOn}`

`⇒ hat{IOn} = hat{IOm} = hat{mOn}/2 = 120^o/2 = 60^o`

Vì `ΔION` cân `⇒ hat{INO} = hat{ION} = 60^o`

Xét `ΔINO` có :

`hat{NIO} + hat{INO} + hat{ION} = 180^o` (Định lí tổng 3 góc trong 1 `Δ`)

`⇒ hat{NIO} = 180^o - (hat{INO} + hat{ION}) = 180^o - (60^o + 60^o) = 180^o - 120^o = 60^o` (1)

Xét `ΔIAO` có :

`hat{IAO} + hat{AIO} + hat{IOA} = 180^o` (Định lí tổng 3 góc trong 1 `Δ`)

`⇒ hat{AIO} 180^o - (hat{IAO} + hat{IOA}) = 180^o - (90^o + 60^o) = 180^o - 150^o = 30^o` (2)

Từ (1) và (2)

`⇒ hat{NIO} + hat{OIA} = 60^o + 30^o = 90^o`

hay `AI⊥IN`

Giải thích các bước giải:

a) Xét hai tam giác vuông AOI và BOI có:

OA = OB (gt)

OI là cạnh chung

Nên ΔAOI = ΔBOI (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Vậy ΔAOI = ΔBOI

Do đó $\widehat{AIO}=\widehat{BIO}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí kề nhau

Vậy OI là tia phân giác của $\widehat{xOy}$

b) Xét hai tam giác vuông BOI và BNI có:

BO = BN (gt)

BI là cạnh chung

Nên ΔBOI = ΔBNI (c.g.c)

Do đó IO = IN (hai cạnh tương ứng)

Vậy IO = IN và ΔION cân tại I

c) Ta có: $\widehat{mOn}=120^{o}$

Mà $\widehat{AOI}=\widehat{BOI}$ (cmt)

Nên $\widehat{AOI}=\widehat{BOI}=120^{o}:2=60^{o}$

Vì ΔAOI vuông tại A

Nên $\widehat{AOI}+\widehat{AIO}=90{o}$

$=>60^{o}+\widehat{AIO}=90{o}$

$=>\widehat{AIO}=90{o}-60^{o}$

$=>\widehat{AIO}=30^{o}$

Lại có: $\widehat{AIO}=\widehat{BIO}=\widehat{BIN}$ (vì ΔAOI = ΔBOI = ΔBNI)

$=>\widehat{AIO}=\widehat{BIO}=\widehat{BIN}=30^{o}$

$=>\widehat{AIO}+\widehat{BIO}+\widehat{BIN}=30^{o}+30^{o}+30^{o}$

$=>\widehat{AIN}=90^{o}$

$=>AI⊥IN$

Vậy $AI⊥IN$